Привести интеграл к Beta функции

[Seergey]

$ \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b+2bx)^a} $

Если брать по частям, то получается 0:

$ \frac{Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})}{(1+b)^a}-\frac{Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})}{(1-b)^a} + 2 a b \cdot Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2}) \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-b+2bx)^{a+1}} = 0$

но площадь не нулевая, так что ноль неправильно.

Никак не получается пробить этот интеграл

[ИСН]

Вы это что понимаете под взятием по частям, например?

[Seergey]

$u=\frac{1}{(1-b+2bx)^a}$
$du=\frac{-2abdx}{(1-b+2bx)^{a+1}}$
$dv=x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx$
$v=\int_{0}^{1} x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx=Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

Тогда

$\int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b+2bx)^a} = \frac{Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})}{(1+b)^a}-\frac{Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})}{(1-b)^a} + 2 a b \cdot Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2}) \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-b+2bx)^{a+1}}=0$
, неверно, тк не должен равняться нулю

[Otta]

Идем учить формулу интегрирования по частям.

[ИСН]

Вы берёте какую-то функцию от x и запихиваете её в dv. OK, это так и положено делать. А дальше наступает катастрофа. Смотрите, $B({a\over2},{a\over2})$ не зависит от $x$. Это - константа. Ваша функция $v$ - константа?

[Seergey]

ИСН в сообщении #871928 писал(а):

Вы берёте какую-то функцию от x и запихиваете её в dv. OK, это так и положено делать. А дальше наступает катастрофа. Смотрите, $B({a\over2},{a\over2})$ не зависит от $x$. Это - константа. Ваша функция $v$ - константа?

Да, я когда искал $v$ то брал определённый интеграл, т. к. неопределенный просто не выражается в элементарных функциях. Но я не уверен что так можно делать.

-- 05.06.2014, 00:27 --

А каким ещё способом можно 'отделить' Beta функцию?

[ИСН]

Надо не способом. И не отделить, а это она сама и есть. Подозреваю, надо как-то хитро подобранной дробно-линейной заменой этот неприятный знаменатель втащить вовнутрь, в переменную.
Но если Вы будете не нравящиеся буковки заменять другими произвольными буковками, то у меня для Вас плохие новости.

[Seergey]

ИСН в сообщении #871940 писал(а):

Подозреваю, надо как-то хитро подобранной дробно-линейной заменой этот неприятный знаменатель втащить вовнутрь, в переменную.

Да!! Нашел я такую замену.

$ \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b+2bx)^a}=\int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b)^a(1+\frac{2bx}{1-b})^a}=\int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b)^a(\frac{1-b+2bx}{1-b})^a}= $

$=\int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b)^a(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{\frac{a}{2}}(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{\frac{a}{2}}(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{-2}(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{2}}=$

$=\int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{a}{2}-1}(1-x)^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b)^a(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{\frac{a}{2}-1}(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{\frac{a}{2}-1}(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{2}}=$

$=\int_{0}^{1} \frac{(\frac{x(1-b)}{1-b+2bx})^{\frac{a}{2}-1}(\frac{(1-x)(1-b)}{1-b+2bx})^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b)^a(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{2}}=$

Замена:

$t=\frac{(1-x)(1-b)}{1-b+2bx}$
$dt=-\frac{(1-b)dx}{1-b+2bx}-\frac{2b(1-b)(1-x)dx}{(1-b+2bx)^2}=\frac{(b^2-1)dx}{(1-b+2bx)^2}$
$dx=\frac{(1-b+2bx)^2dt}{b^2-1}$
К выражению x:
$(1-x)(1-b)=t(1-b+2bx)$
$1-x-b+bx=2bxt+t-bt$
$2bxt+x-bx=1-b-t+bt$
$x=\frac{1-b-t+bt}{2bt-b+1}=\frac{(b-1)(t-1)}{1-b+2bt}$

$1 \to 0$
$0 \to 1$


Тогда:

$\int_{0}^{1} \frac{(\frac{x(1-b)}{1-b+2bx})^{\frac{a}{2}-1}(\frac{(1-x)(1-b)}{1-b+2bx})^{\frac{a}{2}-1}dx}{(1-b)^a(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{2}}=$

$=\int_{1}^{0} \frac{(\frac{(\frac{(b-1)(t-1)}{1-b+2bt})(1-b)}{1-b+2b(\frac{(b-1)(t-1)}{1-b+2bt})})^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}\frac{(1-b+2bx)^2dt}{b^2-1}dt}{(1-b)^a(\frac{1-b+2bx}{1-b})^{2}}=$

$=\int_{1}^{0} \frac{(\frac{(\frac{(b-1)(t-1)}{1-b+2bt})(1-b)}{1-b+2b(\frac{(b-1)(t-1)}{1-b+2bt})})^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt}{(1-b)^{a-2}(b^2-1)}=$

$=\int_{1}^{0} \frac{(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt}{(1-b)^{a-2}(b^2-1)}=$

$=\int_{1}^{0} \frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}(t-1)^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)}=$

$=\frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)} \int_{1}^{0} (t-1)^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)} \int_{1}^{0} (-1)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=-\frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)} (-1)^{\frac{a}{2}-1} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=-\frac{(-1)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)} (-1)^{\frac{a}{2}-1} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=-\frac{ (-1)^{a-2} }{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(b^2-1)} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{ (-1)^{a-2} }{((1-b)(1+b))^{\frac{a}{2}-1}(1-b^2)} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{ (-1)^{a-2} }{(1-b^2)^{\frac{a}{2}}} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{ (-1)^{a-2} }{(1-b^2)^{\frac{a}{2}}} Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

[ИСН]

Да!
(У Вас там какая-то джигурда с минус единицами в нецелой степени. Их вообще не должно было возникать. Но это мелочи.)

[Seergey]

ИСН в сообщении #872026 писал(а):

(У Вас там какая-то джигурда с минус единицами в нецелой степени. Их вообще не должно было возникать. Но это мелочи.)

А там вот в чем проблема:

Там такая скобка

$ (\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}$

Так вот если написать так:

$ (\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(\frac{(-(1-b))(-(1-t))}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}$

то никаких единиц в степени нет, а я там когда писал сначала раскрыл скобки и получилось так:

$(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}=\frac{(b-1)^{\frac{a}{2}-1}(t-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=$
$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}=$
$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(1-t)^{\frac{a}{2}-1}(-1)^{a-2}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}}$

Очень странно кстати.

[ИСН]

Это всё полезно для понимания, но излишне для решения. Лучше было с самого начала не писать t-1 и b-1, вообще ни разу.
И ничего странного. Вы имплицитно подразумеваете (перебрасывая туда-сюда эти минус единицы в разных степенях), будто $a\over2$ - целое число. Но если это так (что не факт, ну да ладно), то что можно сказать про $(-1)^{a-2}$?

[Seergey]

Там тогда вот так получается
................

$=\int_{1}^{0} \frac{(\frac{(b-1)(t-1)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt}{(1-b)^{a-2}(b^2-1)}=$

$=\int_{1}^{0} \frac{(\frac{(-(1-b))(-(1-t))}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt}{(1-b)^{a-2}(b^2-1)}=$

$=\int_{1}^{0} \frac{(\frac{(1-b)(1-t)}{1+b})^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt}{(1-b)^{a-2}(b^2-1)}=$

$=\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)} \int_{1}^{0} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}t^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=-\frac{(1-b)^{\frac{a}{2}-1}}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{a-2}(b^2-1)} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=-\frac{1}{(1+b)^{\frac{a}{2}-1}(1-b)^{\frac{a}{2}-1}(b^2-1)} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{1}{((1-b)(1+b))^{\frac{a}{2}-1}(1-b^2)} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{1}{(1-b^2)^{\frac{a}{2}}} \int_{0}^{1} t^{\frac{a}{2}-1} (1-t)^{\frac{a}{2}-1}dt=$

$=\frac{1}{(1-b^2)^{\frac{a}{2}}} Beta(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

-- 05.06.2014, 14:55 --

ИСН в сообщении #872032 писал(а):

Это всё полезно для понимания, но излишне для решения. Лучше было с самого начала не писать t-1 и b-1, вообще ни разу.
И ничего странного. Вы имплицитно подразумеваете (перебрасывая туда-сюда эти минус единицы в разных степенях), будто $a\over2$ - целое число. Но если это так (что не факт, ну да ладно), то что можно сказать про $(-1)^{a-2}$?

Так вот именно, что если a=3,5,7... ,то это -1,
если a=4,6,8... ,то это 1
А в остальных случаях это вообще комплексная величина,
но a в этом интеграле любое.
А в что получается нельзя раскрывать степень произведения как произведение степеней?

[ИСН]

Вот чтобы не задаваться этими вопросами, я и говорю:

ИСН в сообщении #872032 писал(а):

Лучше было с самого начала не писать t-1 и b-1, вообще ни разу.

[Seergey]

ИСН в сообщении #872035 писал(а):

Вот чтобы не задаваться этими вопросами, я и говорю:

ИСН в сообщении #872032 писал(а):

Лучше было с самого начала не писать t-1 и b-1, вообще ни разу.

А как же тогда? Ещё одну лишнюю замену?

[ИСН]

В какой момент у Вас впервые появляются эти сомножители?