Функторы (Маклейн 1.4)

[kp9r4d]

1. Покажите, что каждая из следующих конструкций может рассматриваться как функтор: поле частных целостного кольца; алгебра Ли группы Ли.
2. Покажите, что функторы $1 \to \mathbf C$, $2 \to \mathbf C$, $3 \to \mathbf C$ соответствуют объектам, стрелкам и перемноженным парам стрелок в $C$.

1. С полем частных решил. Пусть $\mathbf C$ — категория всех целостных колец, стрелки которой — инъективные гомоморфизмы целостных колец. А $\mathbf K$ — категория всех полей, стрелки которой — вложения полей. Тогда функтор $F$ — это функтор сопоставляющий каждому кольцу целостности его поле частных, а каждому инъективному гомоморфизму целостных колец сопоставляет вложение соответствующих полей частных.
Во-втором случае, понятно, надо брать категорию всех групп Ли и непрерывные гомоморфизмы и категорию алгебр Ли с ними же, при этом функтором отображать группы Ли в соответствующие им алгебры Ли, но куда отображать стрелки?
2. Там точно должно быть не $\mathbf C \to 1$, $\mathbf C \to 2$, $\mathbf C \to 3$?

Спасибо заранее.

-- 04.06.2014, 15:47 --

Со вторым понял, имеются в виду все функторы, а не какой-нибудь конкретный.

[Narn]

kp9r4d в сообщении #871786 писал(а):

надо брать категорию всех групп Ли и непрерывные гомоморфизмы и категорию алгебр Ли с ними же, при этом функтором отображать группы Ли в соответствующие им алгебры Ли, но куда отображать стрелки?

С непрерывными гомоморфизмами я не умею. Группы Ли обычно гладкие. А соотв. алгебры Ли (в одной из интерпретаций) --- это левоинвариантные векторные поля касательное пространство в единице. Так что, если вы возьмете гладкие гомоморфизмы, то перенести их в категорию алгебр Ли будет вроде не так сложно.

[kp9r4d]

Да, спасибо, то есть гомоморфизмы групп надо функтором переводить во вложения соответствующих касательных пространств?

[Narn]

А что вы имеете в виду под "вложениями касательных пространств"?

[kp9r4d]

Narn в сообщении #871822 писал(а):

А что вы имеете в виду под "вложениями касательных пространств"?

Ну они же линейны по сути, а поэтому одно в другое можно как-нибудь вложить.