теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение

[Ivan0001]

17.5.
Доказать, что если $f \in L_{1}(R)$ и $\widehat{f} \equiv 0$, то $f=0$
19.11 (б).
Найти фундаментальное решение оператора $L \,\colon (Lx)(t)=x''(t) + x(t) $

Правильно ли я решаю 17.5?

$ \widehat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx \equiv 0$, а раз $f \in L_{1}(R)$, то подынтегральное выражение сходится, а раз экспонента больше нуля, то $f=0$

19.11 (б) не знаю, как решить.

[Brukvalub]

Ivan0001 в сообщении #871379 писал(а):

...
$ \widehat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx \equiv 0$, а раз $f \in L_{1}(R)$, то подынтегральное выражение сходится, а раз экспонента больше нуля, то $f=0$...

А почему "экспонента больше 0?" Например, $e^{\pi\cdot i}=-1$

[Ivan0001]

Brukvalub в сообщении #871382 писал(а):

Например, $e^{\pi\cdot i}=-1$

Да!)) Вы правы. Экспонента не обращается в ноль, но чувствую, что мое решение недостаточно и предполагает использование какой-нибудь теоремы

[Brukvalub]

А какой теоремы не хватает?

[Oleg Zubelevich]

Смотря, что известно к этому моменту. Например, так
$0=(\hat f,\psi)=(f,\hat \psi),\quad \psi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Поскольку когда $\psi$ пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\hat \psi$ тоже пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, получаем $f=0$ п.в.

-- Вт июн 03, 2014 20:05:26 --

Ivan0001 в сообщении #871379 писал(а):

Найти фундаментальное решение оператора $L \,\colon (Lx)(t)=x''(t) + x(t) $

а краевые условия будут?

[Brukvalub]

А какой-нибудь теоремы о единственности преобразования Фурье не хватит?

[Oleg Zubelevich]

в смысле сослаться как на известный результат?

[Brukvalub]

Типо так.

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #871379 писал(а):

19.11 (б) не знаю, как решить.

Склейте две синусоиды так, чтобы производная в точке склейки имела разрыв с нужным скачком.

[Ivan0001]

Oleg Zubelevich в сообщении #871476 писал(а):

Смотря, что известно к этому моменту. Например, так
$0=(\hat f,\psi)=(f,\hat \psi),\quad \psi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Поскольку когда $\psi$ пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\hat \psi$ тоже пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, получаем $f=0$ п.в.

Я так понимаю, вы отождествляете локально интегрируемую функцию с задаваемой ею обобщенной функцией: $(f,\psi) =(F_{f},\psi)= \int \limits_{R} f(t)\psi(t)dt$
Во всех точках, где $\psi \ne 0$, $f=0$, поэтому п.в.
А как доказать для остальных точек? Доказательства для $S(R)$ достаточно или нужно рассматривать все $L_{1}(R)$?
Во второй задачке в условии только то, что написано выше.

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #872863 писал(а):

Во второй задачке в условии только то, что написано выше.

Ну так и склейте. Что такое фундаментальное решение?...

[Ivan0001]

ewert, простите, но я не понимаю, что вы подразумеваете под словосочетанием склеить две синусоиды. Ответ в задачнике: $ \theta(x) \sin(x)$

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #872870 писал(а):

Ответ в задачнике: $ \theta(x) \sin(x)$

Можно и так. Почему я и спросил: что у вас понимается под фундаментальным решением? Тут ведь разные формулировки возможны (точнее, разные нюансы).

[Oleg Zubelevich]

Ivan0001 в сообщении #872863 писал(а):

локально интегрируемую функцию

в условии была не любая локально интегрируемая функция, а функция из $L^1(\mathbb{R})$

Ivan0001 в сообщении #872863 писал(а):

А как доказать для остальных точек? Доказательства для $S(R)$ достаточно или нужно рассматривать все $L_{1}(R)$?

надо сворачивать $f$ с $\delta$-образной последовательностью из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Вообще доказательство требует некоторой техники. Надо просто открыть учебник и прочитать это доказательство. Я бы предложил Вам найти в сети Folland Real analysis...

[Ivan0001]

Oleg Zubelevich в сообщении #872879 писал(а):

Folland Real analysis

В книге 1999 года в задачке под номером 8.27 (на странице 265) в условии написано $f \in L^1, f=0 \ a.e. $, но решение не представлено. Насколько я понимаю, это наиболее свежая версия. Если в их формулировке $L^1=L_{1}(R)$, то, видимо, решение Olegа Zubelevichа достаточно. Но после

Oleg Zubelevich в сообщении #872879 писал(а):

надо сворачивать $f$ с $\delta$-образной последовательностью из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$

я немного сбит с толку))

-- 07.06.2014, 23:35 --

Brukvalub в сообщении #871479 писал(а):

А какой-нибудь теоремы
о единственности преобразования Фурье не хватит?

Ссылка устарела, а теорему в интернете найти не удалось (не пробовал по всему интернету искать)