2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 15:53 
17.5.
Доказать, что если $f \in L_{1}(R)$ и $\widehat{f} \equiv 0$, то $f=0$
19.11 (б).
Найти фундаментальное решение оператора $L \,\colon (Lx)(t)=x''(t) + x(t) $

Правильно ли я решаю 17.5?

$ \widehat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx \equiv 0$, а раз $f \in L_{1}(R)$, то подынтегральное выражение сходится, а раз экспонента больше нуля, то $f=0$

19.11 (б) не знаю, как решить.

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 16:10 
Аватара пользователя
Ivan0001 в сообщении #871379 писал(а):
...
$ \widehat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx \equiv 0$, а раз $f \in L_{1}(R)$, то подынтегральное выражение сходится, а раз экспонента больше нуля, то $f=0$...

А почему "экспонента больше 0?" Например, $e^{\pi\cdot i}=-1$

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 19:09 
Brukvalub в сообщении #871382 писал(а):
Например, $e^{\pi\cdot i}=-1$
Да!)) Вы правы. Экспонента не обращается в ноль, но чувствую, что мое решение недостаточно и предполагает использование какой-нибудь теоремы

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 19:16 
Аватара пользователя
А какой теоремы не хватает?

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 20:05 
Смотря, что известно к этому моменту. Например, так
$0=(\hat f,\psi)=(f,\hat \psi),\quad \psi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Поскольку когда $\psi$ пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\hat \psi$ тоже пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, получаем $f=0$ п.в.

-- Вт июн 03, 2014 20:05:26 --

Ivan0001 в сообщении #871379 писал(а):
Найти фундаментальное решение оператора $L \,\colon (Lx)(t)=x''(t) + x(t) $

а краевые условия будут?

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 20:13 
Аватара пользователя
А какой-нибудь теоремы о единственности преобразования Фурье не хватит? :shock:

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение03.06.2014, 22:01 
в смысле сослаться как на известный результат?

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение04.06.2014, 09:11 
Аватара пользователя
Типо так. :D

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение04.06.2014, 09:25 
Ivan0001 в сообщении #871379 писал(а):
19.11 (б) не знаю, как решить.

Склейте две синусоиды так, чтобы производная в точке склейки имела разрыв с нужным скачком.

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение07.06.2014, 19:21 
Oleg Zubelevich в сообщении #871476 писал(а):
Смотря, что известно к этому моменту. Например, так
$0=(\hat f,\psi)=(f,\hat \psi),\quad \psi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Поскольку когда $\psi$ пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\hat \psi$ тоже пробегает $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, получаем $f=0$ п.в.


Я так понимаю, вы отождествляете локально интегрируемую функцию с задаваемой ею обобщенной функцией: $(f,\psi) =(F_{f},\psi)= \int \limits_{R} f(t)\psi(t)dt$
Во всех точках, где $\psi \ne 0$, $f=0$, поэтому п.в.
А как доказать для остальных точек? Доказательства для $S(R)$ достаточно или нужно рассматривать все $L_{1}(R)$?
Во второй задачке в условии только то, что написано выше.

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение07.06.2014, 19:31 
Ivan0001 в сообщении #872863 писал(а):
Во второй задачке в условии только то, что написано выше.

Ну так и склейте. Что такое фундаментальное решение?...

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение07.06.2014, 19:46 
ewert, простите, но я не понимаю, что вы подразумеваете под словосочетанием склеить две синусоиды. Ответ в задачнике: $ \theta(x) \sin(x)$

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение07.06.2014, 19:48 
Ivan0001 в сообщении #872870 писал(а):
Ответ в задачнике: $ \theta(x) \sin(x)$

Можно и так. Почему я и спросил: что у вас понимается под фундаментальным решением? Тут ведь разные формулировки возможны (точнее, разные нюансы).

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение07.06.2014, 20:11 
Ivan0001 в сообщении #872863 писал(а):
локально интегрируемую функцию

в условии была не любая локально интегрируемая функция, а функция из $L^1(\mathbb{R})$
Ivan0001 в сообщении #872863 писал(а):
А как доказать для остальных точек? Доказательства для $S(R)$ достаточно или нужно рассматривать все $L_{1}(R)$?

надо сворачивать $f$ с $\delta$-образной последовательностью из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Вообще доказательство требует некоторой техники. Надо просто открыть учебник и прочитать это доказательство. Я бы предложил Вам найти в сети Folland Real analysis...

 
 
 
 Re: теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение
Сообщение07.06.2014, 22:30 
Oleg Zubelevich в сообщении #872879 писал(а):
Folland Real analysis

В книге 1999 года в задачке под номером 8.27 (на странице 265) в условии написано $f \in L^1, f=0 \ a.e. $, но решение не представлено. Насколько я понимаю, это наиболее свежая версия. Если в их формулировке $L^1=L_{1}(R)$, то, видимо, решение Olegа Zubelevichа достаточно. Но после
Oleg Zubelevich в сообщении #872879 писал(а):
надо сворачивать $f$ с $\delta$-образной последовательностью из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$

я немного сбит с толку))

-- 07.06.2014, 23:35 --

Brukvalub в сообщении #871479 писал(а):
А какой-нибудь теоремы
о единственности преобразования Фурье не хватит? :shock:


Ссылка устарела, а теорему в интернете найти не удалось (не пробовал по всему интернету искать)

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group