тригонометрия с точки зрения анализа

[Yuri Gendelman]

Oleg Zubelevich в сообщении #871048 писал(а):

на какой странице

27

[Oleg Zubelevich]

ага вижу. У Трикоми сложнее

[Brukvalub]

Одного пока не вижу: как из этого определения быстро получить тот факт, что катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла?

[Oleg Zubelevich]

это уже получено в первом же посте

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #871296 писал(а):

это уже получено в первом же посте

Это вряд ли. В этом посте никак не раскрыт геометрический смысл параметра, используемого в параметризации окружности, туточки еще попотеть треба.

[Oleg Zubelevich]

раскрыт геометрический смысл параметра, читайте внимательно

-- Вт июн 03, 2014 10:57:13 --

Дубровин Новиков и Фоменко намекают Вам прозрачно:

[Brukvalub]

Спасибо, я уже 5 мин. как понял, что прозевал слово "натуральный". Вообще-то, подобные же игры в синус-косинус давно прописаны в теории степенных рядов и в ТФКП. Первый раз (курсе эдак на 1-м-2-м) все это будоражит юные умы, в более зрелом возрасте приходит понимание, что все это "тот же типчик, вид сбоку".

[Oleg Zubelevich]

Вот поэтому сообщение помещено в "Вопросы преподавания"

[g______d]

Brukvalub в сообщении #871310 писал(а):

Первый раз (курсе эдак на 1-м-2-м) все это будоражит юные умы, в более зрелом возрасте приходит понимание, что все это "тот же типчик, вид сбоку".

Ну не знаю; по-моему, задача "дан ряд для синуса, докажите, что соответствующая функция имеет период $2\pi$" довольно содержательная, особенно если не хочется привлекать геометрию.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #871302 писал(а):

раскрыт геометрический смысл параметра, читайте внимательно

То, что центральный угол равен угловой мере дуги, равной длине дуги, считаете уже доказанным? Это всё уже не анализ, а элементарная геометрия.

[mishafromusa]

Можно ещё написать ряд для комплексной экспоненты и посмотреть на него внимательно, а ряд взять не с потолка, а посмотрев на $(1+z/n)^n$, как это сделал Эйлер, или решив задачу $y'=y, y(0)=1$ итерациями Пикара, и даже применить их для разложения синуса и косинуса в ряды. Можно и обратить ряд для логарифма, как мог бы сделать Ньютон. Много чего можно...

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Продолжаем творчество в стиле книжки Клейна "Элементарная математика с точки зрения высшей"

Определение. Экспонентой аргумента $t$ называется решение дифференциального уравнения

$$\dot w=w,\quad w(0)=1.\qquad (**)$$

1) Групповое свойство дает $w(s+t)=w(s)w(t).$

2) По теореме единственности, $w(t)$ не обращается в 0, cледовательно при всех $t\in\mathbb{R}$ имеем $w(t)>0$.

3) Будем считать, что на данном этапе мы умеем возводить положительные числа в рациональную степень и дифференцировать степенную функцию.
Введем функцию $g(t)=w^q(t/q),\quad q\in\mathbb{Q},\quad q\ne 0.$ Эта функция является решением задачи (**) и по теореме единственности $w^q(t/q)=w(t).$

4) Основанием натурального логарифма называется число $e:=w(1)$.

5) Верна формула $e^a=w(a),\quad a\in\mathbb{Q}.$ Это следует из последней формулы пункта 3) если положить $t=q.$
Следовательно, функция $w(t)$ продолжает по непрерывности функцию $t\mapsto e^t$ с множества рациональных чисел на множество действительных чисел.

6) Рассмотрим функцию $W(t)=w(it)$. Она удовлетворяет задаче Коши

$$\dot W=iW,\quad W(0)=1.$$

Разделяя действительную и мнимую части $W=W_1+iW_2$
убеждаемся, что $\ddot W_k+W_k=0,\quad k=1,2$, причем

$$W_1(0)=1,\quad \dot W_1(0)=0,\quad W_2(0)=0,\quad \dot W_2(0)=1$$

По теореме единственности (см уравнение (*)) получаем формулу Эйлера

$$w(it)=e^{it}=x(t)+iy(t).$$

[timots]

Математика сегодня. Научный сборник. Киев. «Выща школа» 1983
А.В. Кужель
Метод обобщений в математическом творчестве

Цитата:

Об одном обобщении тригонометрических функций.
Тригонометрические функции $ \sin x, \cos x$ являются, как известно, решением дифференциального уравнения
$ \ddot y+y=0 \qquad$ (1)
Наоборот, если обозначить через $ c(x), s(x) $ решением дифференциального уравнения (1), удовлетворяющие условием
$ c(0)=1, \quad\dot c(0)=0; s(0)=0, \quad\dot s(0)=1$
то, не используя свойств тригонометрических функций, можно в частности показать что
$ s(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \cdots, c(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots; s^2(x)+c^2(x)=1; \quad\dot s(x)=c(x), \quad\dot c(x)=s(x) $ и т.д.

[Oleg Zubelevich]

timots в сообщении #871436 писал(а):

Математика сегодня. Научный сборник. Киев. «Выща школа» 1983
А.В. Кужель
Метод обобщений в математическом творчестве

о спасибо большое, до сих пор я считал, что это все математиеческий фольклор, который известен сколько мир стоит, а теперь я буду знать имя первооткрывателя и фундаментальный труд чтоб ссылаться

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #871428 писал(а):

Продолжаем творчество в стиле книжки Клейна "Элементарная математика с точки зрения высшей"

Ну, этой книжке уже сто лет. Не настало ли время для элементарного подхода к высшей математике?