Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность

[Corund]

(Оффтоп)

Дико извиняюсь - но экстремум на $\pi/3$

[Skeptic]

Проведём в окружности хорду. На этой хорде построим треугольник максимальной площади. Это будет равносторонний треугольник. Очевидно, что вписанный треугольник максимальной площади должен быть для каждой стороны быть равнобедренным. Этому условию удовлетворяет вписанный равносторонний треугольник.

[ratay]

Corund: все верно, максимум для равностороннего треугольника. Но не беда, человеку нужен был способ решения, а сам результат пересчитать недолго.

[Skeptic]

Экстремум на ${2\pi/3}$, и получается равносторонний треугольник..

[g______d]

Skeptic в сообщении #871318 писал(а):

Очевидно, что вписанный треугольник максимальной площади должен быть для каждой стороны быть равнобедренным.

Если он существует.

[ex-math]

g______d
Разве есть какие-то проблемы с существованием?
В Вашем решении: если сторона задана, то треугольник с наибольшей высотой существует. Площадь его, как функция этой заданной стороны, имеет максимум в некоторой точке. Значит, и искомый треугольник существует.

[g______d]

ex-math в сообщении #871532 писал(а):

Площадь его, как функция этой заданной стороны, имеет максимум в некоторой точке. Значит, и искомый треугольник существует.

Мы доказали, что равносторонний треугольник является локальным максимумом. Могло случайно оказаться так, что глобального максимума не существует. Хотя и не в этой задаче

[ratay]

Могло, но применительно к данной задаче прямым вычислением мы находим для половины центрального угла, опирающегося на основание, что в интервале
$(0,{\pi}/2)$ экстремум один: $\alpha={\pi}/3$. Да может, и достаточно, а то начнем таблицу умножения обсуждать. Там тоже есть о чем поговорить, но это уже другой, не всем интересный уровень.

-- 03.06.2014, 23:07 --

Собрался поправить, а отправилось как есть. Но понять можно.

[ewert]

g______d в сообщении #871256 писал(а):

пространство всех $n$-угольников некомпактно. Можно вместо этого рассмотреть все $\leqslant n$-угольники,

Это лишнее. Достаточно рассмотреть площадь как функцию от положения $(n-1)$ точек -- множество таких положений вполне себе компактно, т.к. задаётся системой нестрогих неравенств. То, что в некоторых положениях какие-то точки сливаются, не имеет значения; просто соответствующие стороны в этих случаях считаем нулевыми.

[Skeptic]

Проведём в окружности хорду. Используя хорду как основание, впишем треугольник максимальной площади. Это будет равнобедренный треугольник. Проведём диаметр окружности через середину хорды. В полуокружности получим прямоугольный треугольник с одним из катетов на диаметре окружности. Зафиксируем вершину, лежащую на диаметре. Будем перемещать по окружности лежащую на ней вершины. Траектория этой вершины описывается уравнением $y^2+x^2=1$, а площадь треугольника $s=\frac{1}{2}xy$. Максимизируя площадь $s$, получим треугольник с соотношением гипотенузы и малого катета 2:1. Такой же треугольник можно построить в другой полуокружности. В сумме они дадут вписанный равносторонний треугольник, имеющий максимальную площадь.

[Evgenjy]

Исходя из данного треугольника, строим равнобедренный треугольник не меньшей площади. Затем передвигая основание равнобедренного треугольника параллельно самому себе находим треугольник максимальной площади. Это, естественно, будет равносторонний треугольник. Т. е. мы эффективно построили равносторонний треугольник не меньшей площади, чем исходный. Если предположить, что существует треугольник большей площади, чем равносторонний, то по этому треугольнику можно построить равносторонний треугольник не меньшей площади, а все равносторонние треугольники, вписанные в данную окружность, имеют одинаковую площадь.
Таким образом мы доказали и существование максимума, определили условия, при которых он достигается, и нашли значение максимума. Соль такого решения в эффективном построении максимума.