2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение01.06.2014, 19:56 
Условие:
Цитата:
Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

Я пытался подойти к этой задаче со следующей стороны. Раз треугольник вписан в окружность, то его площадь можно записать как $S = \frac{abc}{4R}$, где $a,b,c$ - стороны треугольника, а $R$ - радиус окружности, ну а раз окружность единичная, то формулу можно преобразовать к такому виду $S = \frac{abc}{4}$. Но без ограничения, т.е. уравнения-условия, я ничего не могу сделать. И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение. Если я получу его, то дальше я смогу вычислить экстремум по методу Лагранжа. Преподаватель как-то кратко и мельком объяснял эту задачу. Тут, кажется, можно связать каждую сторону треугольника с углом и перейти в полярную систему координат для удобства, но это лишь общие мысли и я не знаю как продолжить решение.
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.

 
 
 
 Re: Анализ. Несколько задач на функции нескольких переменных.
Сообщение01.06.2014, 21:55 
Аватара пользователя
Azriel в сообщении #870708 писал(а):
3) Экстремум функции.

Условие:
Цитата:
Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение.

Вы не знаете как записать условие "точки лежат на единичной окружности" для точек с известными координатами?

 
 
 
 Re: Анализ. Несколько задач на функции нескольких переменных.
Сообщение01.06.2014, 22:45 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»

Azriel
Не надо все задачи писать в одной теме. Создайте для каждой свою.
Заодно и формулы исправьте. Косинус-синус пишутся так же как и логарифм: \sin x

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2014, 23:48 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение01.06.2014, 23:59 
Аватара пользователя
Azriel в сообщении #870658 писал(а):
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.


Зафиксируйте две вершины и посмотрите, при каком положении третьей вершины достигается максимум.

 
 
 
 Re: Анализ. Несколько задач на функции нескольких переменных.
Сообщение02.06.2014, 00:12 
demolishka в сообщении #870737 писал(а):
Azriel в сообщении #870708 писал(а):
3) Экстремум функции.

Условие:
Цитата:
Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение.

Вы не знаете как записать условие "точки лежат на единичной окружности" для точек с известными координатами?


Т.е. нужно выбрать 3 точки с заданными координатами:
1) $(x_1, y_1)$
2) $(x_2, y_2)$
3) $(x_3, y_3)$
После этого нужно написать, что каждая точка лежит на окружности, т.е. $x_1^2 + y_1^2 = 1$; $x_2^2 + y_2^2 = 1$; $x_3^2 + y_3^2 = 1$.
Получается три уравнения-условия. Верно?
Но при этом, если мы будем исходить из формулы площади треугольника вписанного в окружность, то нам нужно написать длину стороны в координатах. На примере стороны $a$: $a = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Ну и для остальных также в общем-то. Уже начинаю сомневаться в своем решении. На википедии нашел следующую формулу для вычисления площади треугольника по координатам - $S = \frac{|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|}{2}$.
И тогда функция Лагранжа получается страшной. Возможно я что-то сделал не так или неправильно вас понял.

-- 02.06.2014, 04:18 --

g______d в сообщении #870806 писал(а):
Azriel в сообщении #870658 писал(а):
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.


Зафиксируйте две вершины и посмотрите, при каком положении третьей вершины достигается максимум.


Не совсем понимаю, как нужно фиксировать вершины. Вы имеете в виду, чтобы я взял какие-нибудь две точки (т.е. две вершины, точки на окружности) и принял их координаты за известные нам константы, а в третьей точке рассматривал координаты как неизвестные и уже отталкиваясь от них искал экстремум?

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 00:31 
Аватара пользователя
Azriel в сообщении #870811 писал(а):
Вы имеете в виду, чтобы я взял какие-нибудь две точки (т.е. две вершины, точки на окружности) и принял их координаты за известные нам константы, а в третьей точке рассматривал координаты как неизвестные и уже отталкиваясь от них искал экстремум?


Да. Площадь – это половина произведения основания на высоту, если основание фиксировано, надо максимизировать высоту; в какой точке достигается максимум высоты?

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 18:44 
Аватара пользователя
Azriel
Первую вершину зафиксировать $(1,0)$;
Вторую и третью вершины $(\cos(\alpha),\sin(\alpha)), (\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$
Тогда
$a^2=\sin ^2(\alpha )+(\cos (\alpha )-1)^2 $
$b^2=\sin ^2(\alpha +\beta )+(\cos (\alpha +\beta )-1)^2$
$c^2=(\sin (\alpha )-\sin (\alpha +\beta ))^2+(\cos (\alpha )-\cos (\alpha +\beta ))^2$
и надо найти минимум $S^2=\cfrac{a^2b^2c^2}{16}$
После упрощений
$S^2=\frac{1}{4} (\sin (\alpha )+\sin (\beta )-\sin (\alpha +\beta ))^2$
Ну и минимум функции двух переменных...и не забыть корень извлечь. У меня получилось, что треугольник равносторонний, и площадь его равна $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 19:09 
Пусть в окружность вписан $n$-угольник с максимально возможной площадью. Если предположить, что некоторые две его стороны не равны, то: а) их можно считать соседними; б) малым шевелением (понятно, каким именно) тут же получим противоречие.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 20:38 
nnosipov в сообщении #871037 писал(а):
Пусть в окружность вписан $n$-угольник с максимально возможной площадью. Если предположить, что некоторые две его стороны не равны, то: а) их можно считать соседними; б) малым шевелением (понятно, каким именно) тут же получим противоречие.
Осталось заметить, что многоугольник с максимально возможной площадью существует :-)

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 20:53 
Аватара пользователя
g______d предложил очень хорошее решение. Площадь выразится функцией одной переменной, останется только производную сосчитать.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 20:58 
ex-math в сообщении #871088 писал(а):
g______d предложил очень хорошее решение.

Согласен, но мне решение nnosipov кажется самым простым из возможных.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение03.06.2014, 08:49 
Аватара пользователя
patzer2097 в сообщении #871092 писал(а):
Согласен, но мне решение nnosipov кажется самым простым из возможных.


Собственно, это примерно одно и то же, если подумать. Оба решения предполагают существоване $n$-угольника с максимальной площадью. Это несложно, но нужна небольшая аккуратность: пространство всех $n$-угольников некомпактно. Можно вместо этого рассмотреть все $\leqslant n$-угольники, а потом заметить, что площадь правильного $n$-угольника больше площади правильного $(n-1)$-угольника.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение03.06.2014, 10:04 
Многоугольники как обобщение - это хорошо, но нужна площадь треугольника. Я сначала тоже думал, что это равносторонний треугольник, а нет. То, что он равнобедренный - это уже было сказано. Если обозначим центральный угол, опирающийся на основание треугольника, через $\alpha$, то площадь треугольника $S=\sin{\alpha}(1+\cos{\alpha})$.
Дальше прямым вычислением мы находим экстремум при $\alpha={\pi/4}, то есть угол при вершине треугольника тоже ${\pi/4}$. А максимальная площадь треугольника
$S={1+\sqrt{2}}/4$.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение03.06.2014, 10:23 
Аватара пользователя
ratay в сообщении #871282 писал(а):
То, что он равнобедренный - это уже было сказано.


Равнобедренный по отношению к любому основанию, разве нет?

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group