2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение01.06.2014, 19:56 


19/07/12
7
Условие:
Цитата:
Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

Я пытался подойти к этой задаче со следующей стороны. Раз треугольник вписан в окружность, то его площадь можно записать как $S = \frac{abc}{4R}$, где $a,b,c$ - стороны треугольника, а $R$ - радиус окружности, ну а раз окружность единичная, то формулу можно преобразовать к такому виду $S = \frac{abc}{4}$. Но без ограничения, т.е. уравнения-условия, я ничего не могу сделать. И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение. Если я получу его, то дальше я смогу вычислить экстремум по методу Лагранжа. Преподаватель как-то кратко и мельком объяснял эту задачу. Тут, кажется, можно связать каждую сторону треугольника с углом и перейти в полярную систему координат для удобства, но это лишь общие мысли и я не знаю как продолжить решение.
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ. Несколько задач на функции нескольких переменных.
Сообщение01.06.2014, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Azriel в сообщении #870708 писал(а):
3) Экстремум функции.

Условие:
Цитата:
Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение.

Вы не знаете как записать условие "точки лежат на единичной окружности" для точек с известными координатами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ. Несколько задач на функции нескольких переменных.
Сообщение01.06.2014, 22:45 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»

Azriel
Не надо все задачи писать в одной теме. Создайте для каждой свою.
Заодно и формулы исправьте. Косинус-синус пишутся так же как и логарифм: \sin x

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2014, 23:48 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение01.06.2014, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Azriel в сообщении #870658 писал(а):
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.


Зафиксируйте две вершины и посмотрите, при каком положении третьей вершины достигается максимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ. Несколько задач на функции нескольких переменных.
Сообщение02.06.2014, 00:12 


19/07/12
7
demolishka в сообщении #870737 писал(а):
Azriel в сообщении #870708 писал(а):
3) Экстремум функции.

Условие:
Цитата:
Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение.

Вы не знаете как записать условие "точки лежат на единичной окружности" для точек с известными координатами?


Т.е. нужно выбрать 3 точки с заданными координатами:
1) $(x_1, y_1)$
2) $(x_2, y_2)$
3) $(x_3, y_3)$
После этого нужно написать, что каждая точка лежит на окружности, т.е. $x_1^2 + y_1^2 = 1$; $x_2^2 + y_2^2 = 1$; $x_3^2 + y_3^2 = 1$.
Получается три уравнения-условия. Верно?
Но при этом, если мы будем исходить из формулы площади треугольника вписанного в окружность, то нам нужно написать длину стороны в координатах. На примере стороны $a$: $a = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Ну и для остальных также в общем-то. Уже начинаю сомневаться в своем решении. На википедии нашел следующую формулу для вычисления площади треугольника по координатам - $S = \frac{|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|}{2}$.
И тогда функция Лагранжа получается страшной. Возможно я что-то сделал не так или неправильно вас понял.

-- 02.06.2014, 04:18 --

g______d в сообщении #870806 писал(а):
Azriel в сообщении #870658 писал(а):
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.


Зафиксируйте две вершины и посмотрите, при каком положении третьей вершины достигается максимум.


Не совсем понимаю, как нужно фиксировать вершины. Вы имеете в виду, чтобы я взял какие-нибудь две точки (т.е. две вершины, точки на окружности) и принял их координаты за известные нам константы, а в третьей точке рассматривал координаты как неизвестные и уже отталкиваясь от них искал экстремум?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Azriel в сообщении #870811 писал(а):
Вы имеете в виду, чтобы я взял какие-нибудь две точки (т.е. две вершины, точки на окружности) и принял их координаты за известные нам константы, а в третьей точке рассматривал координаты как неизвестные и уже отталкиваясь от них искал экстремум?


Да. Площадь – это половина произведения основания на высоту, если основание фиксировано, надо максимизировать высоту; в какой точке достигается максимум высоты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 18:44 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Azriel
Первую вершину зафиксировать $(1,0)$;
Вторую и третью вершины $(\cos(\alpha),\sin(\alpha)), (\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$
Тогда
$a^2=\sin ^2(\alpha )+(\cos (\alpha )-1)^2 $
$b^2=\sin ^2(\alpha +\beta )+(\cos (\alpha +\beta )-1)^2$
$c^2=(\sin (\alpha )-\sin (\alpha +\beta ))^2+(\cos (\alpha )-\cos (\alpha +\beta ))^2$
и надо найти минимум $S^2=\cfrac{a^2b^2c^2}{16}$
После упрощений
$S^2=\frac{1}{4} (\sin (\alpha )+\sin (\beta )-\sin (\alpha +\beta ))^2$
Ну и минимум функции двух переменных...и не забыть корень извлечь. У меня получилось, что треугольник равносторонний, и площадь его равна $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 19:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пусть в окружность вписан $n$-угольник с максимально возможной площадью. Если предположить, что некоторые две его стороны не равны, то: а) их можно считать соседними; б) малым шевелением (понятно, каким именно) тут же получим противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 20:38 
Заслуженный участник


14/03/10
867
nnosipov в сообщении #871037 писал(а):
Пусть в окружность вписан $n$-угольник с максимально возможной площадью. Если предположить, что некоторые две его стороны не равны, то: а) их можно считать соседними; б) малым шевелением (понятно, каким именно) тут же получим противоречие.
Осталось заметить, что многоугольник с максимально возможной площадью существует :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
g______d предложил очень хорошее решение. Площадь выразится функцией одной переменной, останется только производную сосчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение02.06.2014, 20:58 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ex-math в сообщении #871088 писал(а):
g______d предложил очень хорошее решение.

Согласен, но мне решение nnosipov кажется самым простым из возможных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение03.06.2014, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
patzer2097 в сообщении #871092 писал(а):
Согласен, но мне решение nnosipov кажется самым простым из возможных.


Собственно, это примерно одно и то же, если подумать. Оба решения предполагают существоване $n$-угольника с максимальной площадью. Это несложно, но нужна небольшая аккуратность: пространство всех $n$-угольников некомпактно. Можно вместо этого рассмотреть все $\leqslant n$-угольники, а потом заметить, что площадь правильного $n$-угольника больше площади правильного $(n-1)$-угольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение03.06.2014, 10:04 


21/08/13

784
Многоугольники как обобщение - это хорошо, но нужна площадь треугольника. Я сначала тоже думал, что это равносторонний треугольник, а нет. То, что он равнобедренный - это уже было сказано. Если обозначим центральный угол, опирающийся на основание треугольника, через $\alpha$, то площадь треугольника $S=\sin{\alpha}(1+\cos{\alpha})$.
Дальше прямым вычислением мы находим экстремум при $\alpha={\pi/4}, то есть угол при вершине треугольника тоже ${\pi/4}$. А максимальная площадь треугольника
$S={1+\sqrt{2}}/4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность
Сообщение03.06.2014, 10:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ratay в сообщении #871282 писал(а):
То, что он равнобедренный - это уже было сказано.


Равнобедренный по отношению к любому основанию, разве нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group