Максимальная площадь треугольника, вписанного в окружность

[Azriel]

Условие:

Цитата:

Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

Я пытался подойти к этой задаче со следующей стороны. Раз треугольник вписан в окружность, то его площадь можно записать как $S = \frac{abc}{4R}$, где $a,b,c$ - стороны треугольника, а $R$ - радиус окружности, ну а раз окружность единичная, то формулу можно преобразовать к такому виду $S = \frac{abc}{4}$. Но без ограничения, т.е. уравнения-условия, я ничего не могу сделать. И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение. Если я получу его, то дальше я смогу вычислить экстремум по методу Лагранжа. Преподаватель как-то кратко и мельком объяснял эту задачу. Тут, кажется, можно связать каждую сторону треугольника с углом и перейти в полярную систему координат для удобства, но это лишь общие мысли и я не знаю как продолжить решение.
И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.

[demolishka]

Azriel в сообщении #870708 писал(а):

3) Экстремум функции.

Условие:

Цитата:

Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение.

Вы не знаете как записать условие "точки лежат на единичной окружности" для точек с известными координатами?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»

Azriel
Не надо все задачи писать в одной теме. Создайте для каждой свою.
Заодно и формулы исправьте. Косинус-синус пишутся так же как и логарифм: \sin x

После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[g______d]

Azriel в сообщении #870658 писал(а):

И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.

Зафиксируйте две вершины и посмотрите, при каком положении третьей вершины достигается максимум.

[Azriel]

demolishka в сообщении #870737 писал(а):

Azriel в сообщении #870708 писал(а):

3) Экстремум функции.

Условие:

Цитата:

Найти максимум площади вписанного в единичную окружность треугольника.

И проблема как раз в этом, я не знаю, как получить это уравнение.

Вы не знаете как записать условие "точки лежат на единичной окружности" для точек с известными координатами?

Т.е. нужно выбрать 3 точки с заданными координатами:
1) $(x_1, y_1)$
2) $(x_2, y_2)$
3) $(x_3, y_3)$
После этого нужно написать, что каждая точка лежит на окружности, т.е. $x_1^2 + y_1^2 = 1$; $x_2^2 + y_2^2 = 1$; $x_3^2 + y_3^2 = 1$.
Получается три уравнения-условия. Верно?
Но при этом, если мы будем исходить из формулы площади треугольника вписанного в окружность, то нам нужно написать длину стороны в координатах. На примере стороны $a$: $a = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Ну и для остальных также в общем-то. Уже начинаю сомневаться в своем решении. На википедии нашел следующую формулу для вычисления площади треугольника по координатам - $S = \frac{|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|}{2}$.
И тогда функция Лагранжа получается страшной. Возможно я что-то сделал не так или неправильно вас понял.

-- 02.06.2014, 04:18 --

g______d в сообщении #870806 писал(а):

Azriel в сообщении #870658 писал(а):

И есть ли решения этой задачи каким-то другим, более простым способом? Но с использованием теории экстремумов.

Зафиксируйте две вершины и посмотрите, при каком положении третьей вершины достигается максимум.

Не совсем понимаю, как нужно фиксировать вершины. Вы имеете в виду, чтобы я взял какие-нибудь две точки (т.е. две вершины, точки на окружности) и принял их координаты за известные нам константы, а в третьей точке рассматривал координаты как неизвестные и уже отталкиваясь от них искал экстремум?

[g______d]

Azriel в сообщении #870811 писал(а):

Вы имеете в виду, чтобы я взял какие-нибудь две точки (т.е. две вершины, точки на окружности) и принял их координаты за известные нам константы, а в третьей точке рассматривал координаты как неизвестные и уже отталкиваясь от них искал экстремум?

Да. Площадь – это половина произведения основания на высоту, если основание фиксировано, надо максимизировать высоту; в какой точке достигается максимум высоты?

[TelmanStud]

Azriel
Первую вершину зафиксировать $(1,0)$;
Вторую и третью вершины $(\cos(\alpha),\sin(\alpha)), (\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$
Тогда
$a^2=\sin ^2(\alpha )+(\cos (\alpha )-1)^2 $
$b^2=\sin ^2(\alpha +\beta )+(\cos (\alpha +\beta )-1)^2$
$c^2=(\sin (\alpha )-\sin (\alpha +\beta ))^2+(\cos (\alpha )-\cos (\alpha +\beta ))^2$
и надо найти минимум $S^2=\cfrac{a^2b^2c^2}{16}$
После упрощений
$S^2=\frac{1}{4} (\sin (\alpha )+\sin (\beta )-\sin (\alpha +\beta ))^2$
Ну и минимум функции двух переменных...и не забыть корень извлечь. У меня получилось, что треугольник равносторонний, и площадь его равна $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

[nnosipov]

Пусть в окружность вписан $n$-угольник с максимально возможной площадью. Если предположить, что некоторые две его стороны не равны, то: а) их можно считать соседними; б) малым шевелением (понятно, каким именно) тут же получим противоречие.

[patzer2097]

nnosipov в сообщении #871037 писал(а):

Пусть в окружность вписан $n$-угольник с максимально возможной площадью. Если предположить, что некоторые две его стороны не равны, то: а) их можно считать соседними; б) малым шевелением (понятно, каким именно) тут же получим противоречие.

Осталось заметить, что многоугольник с максимально возможной площадью существует

[ex-math]

g______d предложил очень хорошее решение. Площадь выразится функцией одной переменной, останется только производную сосчитать.

[patzer2097]

ex-math в сообщении #871088 писал(а):

g______d предложил очень хорошее решение.

Согласен, но мне решение nnosipov кажется самым простым из возможных.

[g______d]

patzer2097 в сообщении #871092 писал(а):

Согласен, но мне решение nnosipov кажется самым простым из возможных.

Собственно, это примерно одно и то же, если подумать. Оба решения предполагают существоване $n$-угольника с максимальной площадью. Это несложно, но нужна небольшая аккуратность: пространство всех $n$-угольников некомпактно. Можно вместо этого рассмотреть все $\leqslant n$-угольники, а потом заметить, что площадь правильного $n$-угольника больше площади правильного $(n-1)$-угольника.

[ratay]

Многоугольники как обобщение - это хорошо, но нужна площадь треугольника. Я сначала тоже думал, что это равносторонний треугольник, а нет. То, что он равнобедренный - это уже было сказано. Если обозначим центральный угол, опирающийся на основание треугольника, через $\alpha$, то площадь треугольника $S=\sin{\alpha}(1+\cos{\alpha})$.
Дальше прямым вычислением мы находим экстремум при $\alpha={\pi/4}, то есть угол при вершине треугольника тоже ${\pi/4}$. А максимальная площадь треугольника
$S={1+\sqrt{2}}/4$.

[g______d]

ratay в сообщении #871282 писал(а):

То, что он равнобедренный - это уже было сказано.

Равнобедренный по отношению к любому основанию, разве нет?