Помогите освоить State Spase и "наблюдатели"

[prof.uskov]

_Ivana в сообщении #867909 писал(а):

Я читал эту ссылку... Непонятно, что такое "выход" системы. Например, у нас обычный обратный маятник, его переменные состояния - угол и угловая скорость. Пусть есть какой-то сигнал управления, мы его знаем. Пусть мы даже знаем какую-то одну из переменных состояния - например. с датчика. Как мы можем определить другую переменную состояния - угол или его производную? Или приведите свой пример из другой области.

Вот активный фильтр на операционном усилителе:

Он описывается дифференциальным уравнением 3-го порядка (по числу конденсаторов).
Предположим, мы контролируем напряжение на входе фильтра и на выходе фильтра с помощью осциллографа, а хотим предсказать снаряжение на конденсаторах фильтра, для этого нам и нужен наблюдатель.

[_Ivana]

Спасибо, буду осмысливать. И думать, смогу ли я как-то применить это к своей задаче.

[yanchick]

По наблюдателям есть хорошие книги Кузовкова Н.Т. "Модальное управление и наблюдающие устройства" , правда с гироскопической спецификой. Но при этом доступно. И да, рекомендую начать с линейных систем. После будет проще перейти, да и в нелинейных системах используются фильтры(наблюдатели) Калманова типа.

[_Ivana]

Спасибо, поищу эту книжку, сначала в сети.
ЗЫ второй раз действительно дельные рекомендации по теме ТАУ дает участник с несколькими сообщениями на форуме.

[spctr]

Мда. Неохота переписывать учебники, но вкратце.

Задана линейная система:

$$ \begin{cases} \dot{x} = A x + B u\\ y = C x + D u \end{cases} $$

где $ u \in \mathbb{R}^r$ -- вектор управляющих воздействий, $ x \in \mathbb{R}^n$ -- вектор состояний, $ y \in \mathbb{R}^m$ -- вектор выхода. Вектору выхода можно приписывать различные смыслы, но здесь предполагается, что это вектор непосредственно измеряемых величин. Обычно предполагают, что именно эти величины нас и интересуют, хотя и необязательно.

Далее положим, что $D = 0$, т. е. управление непосредственно не влияет на выход (только опосредованно через состояние).

Все алгоритмы управления можно разделить на две группы: управление по измеряемому выходу и управление по состоянию. Как правило $m < n$, поэтому управление по состоянию использует больше информации о системе, а значит возможно достигнуть лучшего качества. И действительно, выбор алгоритмов управления по состоянию значительно шире. Но вот беда, вектор состояния то мы не знаем! Идея наблюдателей -- на основе выхода системы и управления восстановить вектор состояния, чтобы в дальнейшем использовать его при синтезе регулятора.

Простейшая идея: давайте введём вспомогательную систему $\dot{\widehat{x}} = \widehat{A} \widehat{x} + K y + H u$, где размерность вектора оценки состояния $\widehat{x}$ совпадает с размерностью вектора $x$. Рассмотрим ошибку $e = x - \widehat{x}$.
Дифференцируя её, получим

$$ \dot{e} = \widehat{A}e + (A - \widehat{A} - K C)x + B H$$

.
Если мы выберем $\widehat{A} = A - K C$, $H = B$, то производная ошибки не будет зависеть ни от входа, ни от выхода, и определяться уравнением

$$\dot{e} = \widehat{A} e.$$

Если мы выберем матрицу $\widehat{A}$ устойчивой, то ошибка будет стремиться к нулю, а $\widehat{x}$ к вектору состояния $x$. Более того, для линейных систем выполняется принцип разделения: корни замкнутой системы наблюдателем будут состоять из корней наблюдателя и системы с регулятором, рассчитанной в предположении, что измеряется весь вектор $x$. Т. е. наблюдатель можно синтезировать отдельно и независимо от регулятора. Для нелинейных систем в общем случае это не так.

Ну и естественно недостатки: в основном это грубость, т.е. более высокая чувствительность к изменениям и неточностям параметров.

[yanchick]

spctr в сообщении #870727 писал(а):

Если мы выберем $\widehat{A} = A - K C$, $H = B$, то производная ошибки не будет зависеть ни от входа, ни от выхода, и определяться уравнением

Для пущей точности собственные числа матрицы $\widehat{A} = A - K C$, должны быть больше чем в исходной системе. В этом случае оценка вектора состояния будет "успевать за обновлением " вектора состояния исходной системы. Но, это всё корректно и справедливо для детерминированной постановки задачи. Если в системе есть случайный процесс(в канале управления или измерения), то необходимо решать задачу минимизации квадрата ошибки. По структуре фильтр будет таким же, отличие лишь в порядке расчета коэффициента К