тригонометрия с точки зрения анализа

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим дифференциальное уравнение

$$\ddot u+u=0.\qquad (*)$$

Через $y(t)$ обозначим решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $y(0)=0,\quad \dot y(0)=1.$
Через $x(t)$ обозначим решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $x(0)=1,\quad \dot x(0)=0.$

Определение. Функция $y$ называется синусом, а функция $x$ называется косинусом аргумента $t\in\mathbb{R}$.



Из единственности мгновенно следует, что $\dot x=-y,\quad \dot y=x$.

Уравнение (*) имеет первый интеграл $f(u,\dot u)=\dot u^2+u^2$ поэтому

$$x^2+y^2=1$$

Это основное тригонометрическое тождество. Из приведенных формул следует, что $\dot x^2+\dot y^2=1$. Таким образом, доказана

Теорема. Функции $x(t),y(t)$ являются параметрическим уравнением единичной окружности, с натуральным параметром $t$.

[Oleg Zubelevich]

Перепишем уравнение в виде системы $\dot u=v$,

$$z=(u,v)^T,\quad A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{pmatrix},\quad \dot z=Az$$

Рассмотрим фундаментальную матрицу данной системы: $\dot X=AX,\quad X(0)=E$, в силу приведенных определений фундаментальная матрица имеет вид

$$X=\begin{pmatrix} x &y \\ \dot x &\dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x &y \\ -y &x \end{pmatrix}.$$

Групповое свойство $X(t+s)=X(t)X(s)$ дает хорошо известные формулы: $x(s+t)=x(s)x(t)-y(s)y(t)$ и т.д.

[Munin]

Достаточно очевидно, как перейти к гиперболическим функциям. Как к интегральным? Какие ещё аналогичные пары спецфункций можно построить по образцу и подобию?

[arseniiv]

По-моему, это определение недостаточно фундаментально, потому что неочевидна его связь с наивным. Надо честно рассматривать $SO(2)$ и потом взять косинус и синус как координаты прооперированного вектора $(1;0)$, введя большую кучу вещей по дороге, потому что для радианной меры нужна длина хотя бы одной окружности. А обойти всё равно никак. (Или, мало ли, я ошибаюсь, и обойти можно, и буду рад почитать.)

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #870838 писал(а):

По-моему, это определение недостаточно фундаментально, потому что неочевидна его связь с наивным.

Вот же:

Oleg Zubelevich в сообщении #870625 писал(а):

Теорема. Функции $x(t),y(t)$ являются параметрическим уравнением единичной окружности, с натуральным параметром $t$.

[arseniiv]

То есть, хотел сказать, порядок не тот — хочется начинать с поворотов всё-таки, а потом уже выводить про дифур по надобности. (Хорошо, что никто не предлагает мне преподавать!)

[Munin]

arseniiv в сообщении #870838 писал(а):

Надо честно рассматривать $SO(2)$

Уже:

Oleg Zubelevich в сообщении #870771 писал(а):

Рассмотрим фундаментальную матрицу данной системы

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ох, что-то я совсем читать разучился. Shame on me.
Только же что читал тему, где Oleg Zubelevich предлагал людям читать внимательнее.

(Но всё равно не в том порядке!)

«Правильный» порядок таков:

• Как-нибудь приходим к евклидовым пространствам и убеждаемся, что евклидово двумерное над вещественными числами — это знакомая вещь.
• Определяем повороты; параллельно определяем длину кривой; параллельно определяем непрерывность чего-то там и, конечно, упомянув про индуцированную нормой метрику.
• Определяем угол поворота как длину кривой непрерывного поворота точки и отображение $f$ из угла поворота в поворот. (И определяем угловую меру просто чтобы удостовериться в связи.)
• Определяем косинусы-синусы как скалярные произведения $f$ от соотв. вектора на соотв. векторы.. (Надо знать, что это соответствует проекции на оси.)
• Для полноты определяем $\tau$ как угол поворота вращения на один оборот.

[Portnov]

По-моему, это не «с точки зрения анализа», а тогда уж «с точки зрения теории специальных функций». Ибо это там вводят специальные функции как решения каких-нибудь дифуров.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #870821 писал(а):

Как к интегральным?

не понял о чем Вы

Munin в сообщении #870821 писал(а):

Какие ещё аналогичные пары спецфункций можно построить по образцу и подобию?

я знаю только стандартные вещи цилиндрические функции вводятся через дифуры, эллиптические тоже , вроде, можно вводить через дифуры

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #870969 писал(а):

не понял о чем Вы

Есть такие спецфункции "интегральный синус" и "интегральный косинус".

[Oleg Zubelevich]

я не видел чтоб эти функции исследовались посредством дифуров

[timots]

Другими словами, функции $ \sin x, \cos x$ можно определить и исследовать как решение дифференциального уравнения, удовлетворяющие определенным условиям (см. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностранная литература, 1962. 351 с).

[Oleg Zubelevich]

а на какой странице там это разбирается? просто сравнить интересно

[arseniiv]

Для интегральных синусов-косинусов получится почти симпатичное уравнение

$$t\dot u + 2\ddot u + t\dddot u = 0.$$

Это почти сразу следует из уравнения $(*)$.

Munin предложил здесь высветить.