Пример "странной" группы

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Я подробнейшим образом расписал вам две другие, неизоморфные вашей, структуры "двухполярной локи 5" и для примера еще одну неизоморфную авторской структуру "двухполярной локи 6"

Самое странное, что я не вижу, где они все делись? Вот что у меня отображается про эти неизоморфные:

tolstopuz писал(а):

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

В пределах этих 5 система отношений будет именно такой, как была указана.

Нет, есть как минимум одна другая непротиворечивая система отношений в пределах этих 5 преобразований.

А хотите еще?

$E=b*c*d$
$a=a*b*c*d$
$b=c*d$
$c=b*d$
$d=b*c$
$a*b=a*c*d$
$a*c=a*b*d$
$a*d=a*b*c$

... и это все... . Я б и сам рад посмотреть на них. Глючит чтоли?

tolstopuz писал(а):

А его кумир уже их опроверг

Конечно не опроверг. Как можно опровергнуть аксиомы? Просто расширил понятие операции. И группы есть частный случай. А не опровергнутый.

Цитата:

Так что и Вам я советую не надеяться отменить аксиомы теории групп

Тут также само. Кто сказал отменять? Я говорю про поменять, а не отменять. Обобщать тоже можно, как вы знаете.

Про остальное позже отвечу.

Добавлено спустя 3 минуты 30 секунд:

tolstopuz, а вы часом не затерли свое старое сообщение новым?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Самое странное, что я не вижу, где они все делись?

Одно сообщение пропало. Видимо, из-за того, что я употребил в нем один фривольный афоризм

Но с учетом существования уже трех неизоморфных систем отношений для более простой "двухполярной локи 5" это уже неактуально.

Ваша - это раз.
Моя, которую вы процитировали - это два.
И если вообще не ставить все десять видов взаимодействия неповторяющихся объектов в соответствие ни объектам, ни друг другу - это три.

В пропавшем сообщении было указание еще на одну ошибку Ленского, придется его повторить:

В "двухполярной локе 2" и "двухполярной локе 3" он, пытаясь найти соответствие для взаимодействия, приходит к тому, что свойства различных объектов "сливаются" или "различие между A и B теряется". Там это для него в порядке вещей. В "двухполярной локе 5" же он забывает об этой возможности и говорит, что "Взаимоотношению (A)*(B) нельзя поставить в соответствие А или В, так как получим тождество объектов с E". Эти два подхода противоречат друг другу, поэтому о какой-то логике в его построениях говорить не приходится.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

А его кумир уже их опроверг

Конечно не опроверг. Как можно опровергнуть аксиомы?

Вы о нем слишком хорошо думаете )
http://mudrec.org/www/mediawiki_math/in ... 0%BF%D1%8B
"Таким образом, Теория групп не состоятельна"

Причем практически в каждом пункте Ленский совершает детские ошибки. Например, в пункте 8 - "Пропущена «теория групп» с одним обратным самому себе элементом" - он, как некоторые начинающие студенты, путает имя объекта с самим объектом и считает, что $a$, $a^{-1}$ обязаны быть различными объектами.

[STilda]

tolstopuz, приведите примеры еще одной (утерянной) двухполярной локи 5 и двухполярной локи 6, которы вы придумали и не изоморфные локам Ленского.

tolstopuz писал(а):

В пропавшем сообщении было указание еще на одну ошибку Ленского, придется его повторить:
...

Объясняю. Если объекты, обозначенные разными буквами сливаются, значит пришли к противоречию. Если этим заканчивается описание на сайте, значит такой системы просто не существует, ее нельза задать. Это входит в аксиомы многополярности.

tolstopuz писал(а):

И если вообще не ставить все десять видов взаимодействия неповторяющихся объектов в соответствие ни объектам, ни друг другу - это три.

Такое нельзя делать согласно аксиомам. Это бы значило отсутствие взаимодействия.

tolstopuz писал(а):

"Таким образом, Теория групп не состоятельна"

Смысл этой не состоятельности вы поймете, когда поймете, что предлагается взамен.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz, приведите примеры еще одной (утерянной) двухполярной локи 5 и двухполярной локи 6, которы вы придумали и не изоморфные локам Ленского.

Я же написал в прошлом сообщении про локу 5, и оно не утеряно. Есть три неизоморфных модели - ваша, максимальная (где все десять взаимодействий считаются разными и не совпадающими с объектами) и третья:

$E=b*c*d$
$a=a*b*c*d$
$b=c*d$
$c=b*d$
$d=b*c$
$a*b=a*c*d$
$a*c=a*b*d$
$a*d=a*b*c$

Еще одна лока 6 строится по тем же принципам, мне просто лень расписывать равенства, потому что для демонстрации этой ошибки Ленского достаточно неизоморфных моделей локи 5.

STilda писал(а):

Объясняю. Если объекты, обозначенные разными буквами сливаются, значит пришли к противоречию. Если этим заканчивается описание на сайте, значит такой системы просто не существует, ее нельза задать. Это входит в аксиомы многополярности.

Рассказываю еще раз.

Пытаемся строить "двухполярную локу 3". Ищем, что бы поставить в соответствие $a*b$. Перебираем все варианты, получаем противоречие. Останов алгоритма, неудача построения.

Пытаемся строить "двухполярную локу 5". Ищем, что бы поставить в соответствие $a*b$. Перебираем все варианты, вдруг нас осеняет, и мы не ставим в соответствие ничего и продолжаем процесс. Триумф алгоритма, успешное построение.

Почему в этих двух случаях Ленский поступил настолько по-разному? Мог бы он поступить в первом случае, как во втором? А во втором, как в первом?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

И если вообще не ставить все десять видов взаимодействия неповторяющихся объектов в соответствие ни объектам, ни друг другу - это три.

Такое нельзя делать согласно аксиомам. Это бы значило отсутствие взаимодействия.

Я не нашел аксиому, запрещающую так поступать. Может, вы покажете?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

"Таким образом, Теория групп не состоятельна"

Смысл этой не состоятельности вы поймете, когда поймете, что предлагается взамен.

Пока я понял обратное - Ленский, "опровергнув" теорию групп, тыкается в свои локи как слепой котенок и делает смешные ошибки на каждом шагу. Более того, с помощью теории групп его система замечательно формализуется, и ошибки Ленского становятся отчетливо видны. Несколько я уже показал.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Я не нашел аксиому, запрещающую так поступать. Может, вы покажете?

Да, погорячился. Не аксиомы. Если ни одной паре не ставится ничего в соответствие, то получится, и никаким тройкам нельзя ставить соответствие, и четырем тоже. Тоесть получим не взаимодействующие объекты. Просто набор из пяти лок 2. Не взаимодействующие наборы тут не рассматриваются. Потому третий вариант я отбрасываю. Хотя да, он может иметь место. Тоесть, согласен с тем, что пунктам 1.2. удовлетворяет набор из 5 не взаимодействующих лок 2.

tolstopuz писал(а):

Пытаемся строить "двухполярную локу 3". Ищем, что бы поставить в соответствие $a*b$. Перебираем все варианты, получаем противоречие. Останов алгоритма, неудача построения.

Тут, если не поставить ничего во взаимодействие, то получим набор из двух лок 2. Это не искомая система.

tolstopuz писал(а):

Пытаемся строить "двухполярную локу 5". Ищем, что бы поставить в соответствие $a*b$. Перебираем все варианты, вдруг нас осеняет, и мы не ставим в соответствие ничего и продолжаем процесс. Триумф алгоритма, успешное построение.

Как это не ставим ничего? Ставим два других - $c*d$.

( Хм... Вот если отказаться от постановки в соответствие только некоторым парам (не всем), и при этом система на набор меньших не распадется, то наверно подойдет вариант. Попробую на днях. )

Относительно вашего варианта:

tolstopuz писал(а):

$E=b*c*d$
$b=c*d$
$c=b*d$
$d=b*c$

Это, как мы видим, совпадает с двухполярной локой 4.
А вот оставшиеся соотношения.

tolstopuz писал(а):

$a=a*b*c*d$
$a*b=a*c*d$
$a*c=a*b*d$
$a*d=a*b*c$

В таком варианте $a$ никак "не вплетается" в систему к $b,c,d$.
Потому, мой вывод: ваш вариант - это набор из двух не взаимодействующих систем. Первая - лока 2 - $a^2=E$, вторая - двухполярная лока 4 - $b^2=c^2=d^2=E$. Согласны? Я соглашаюсь с тем, что такой набор тоже удовлетворяет пунктам 1.2.

Общий вывод, что поставленные в начале условия действительно не задают единственный вариант. Пока что стало очевидно, что их можно удовлетворить еще и наборами не взаимодействующих систем. То, что после "Хм..." я посмотрю на днях. А пока добавлю условие, что наборы из не взаимодействующих систем рассматривать не будем. Я думаю, что в разделе Ленского по суперпозиционным пространствам это подразумевается по умолчанию.

P.S. tolstopuz, не красиво с вашей стороны высказываться в таком тоне про человека.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

А пока добавлю условие, что наборы из не взаимодействующих систем рассматривать не будем. Я думаю, что в разделе Ленского по суперпозиционным пространствам это подразумевается по умолчанию.

Нет. В "двухполярной локе 7" (теорема 21(2)) и далее в "двухполярной локе N" (теоремы 22, 23) Ленский рассматривает именно случай невзаимодействующих троек, видимо, считая его допустимым.

STilda писал(а):

P.S. tolstopuz, не красиво с вашей стороны высказываться в таком тоне про человека.

После того, как Ленский выразил свое отношение к двухсотлетнему труду людей, создавших и развивавших теорию групп ("Если группа перечисляет вещественные объекты и числа, то это никчёмное занятие", "однако в таком смысле сочинять целую «Теорию групп» нет смысла", "таким образом, Теория групп не состоятельна"), лучше бы вы сказали это ему. Я же обращаю внимание даже не на то, что он абсолютно не понимает теорию групп, а на то, что из-за невозможности воспользоваться интеллектуальными достижениями этих людей он допускает смешные ляпы в своей же теории.

Добавлено спустя 15 минут 16 секунд:

Давайте все-таки вернемся к теме разговора. Только давайте для простоты возьмем не четыре, а всего два основных элемента и сделаем их невзаимодействующими: $a^2=b^2=e$. Это та самая нетривиальная "двухполярная лока 3", которую пропустил Ленский. Для наших целей она ничем, кроме количества элементов, не будет отличаться от предложенной вами "двухполярной локи 5". Взаимодействие $a*b$, как и договорились, в число элементов включать не будем.

Вы хотели построить над этой системой алгебру. Расскажите, как вы собираетесь определять произведение $(xa+yb+ze)(ua+vb+we)$. Можете даже для простоты взять частный случай $x=v=1, y=z=u=w=0$.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Нет. В "двухполярной локе 7" (теорема 21(2)) и далее в "двухполярной локе N" (теоремы 22, 23) Ленский рассматривает именно случай невзаимодействующих троек, видимо, считая его допустимым.

Что-то я такого не замечаю там. Смотрим пункт с). Конкретно все написано. И нигде не говорится, что тройкам ничего нельзя поставить в соответствие.

tolstopuz писал(а):

Только давайте для простоты возьмем не четыре, а всего два основных элемента и сделаем их невзаимодействующими: $a^2=b^2=e$

Показано, что этим условия удовлетворяет лишь набор из двух независимых лок 2.

tolstopuz писал(а):

Взаимодействие $a*b$, как и договорились, в число элементов включать не будем.

Если мы его включим, то получим двухполярную локу 4 с элементами $\{a,b,a*b,E\}$

Потому я алгебру над этой "системой" не рассматриваю. Потому, что, как вы и намекаете мне, она будет не замкнутой по причине наличия $a*b$. А если исключить выражения, приводящие к таким слагаемым, то получим просто две отдельных алгебры.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Нет. В "двухполярной локе 7" (теорема 21(2)) и далее в "двухполярной локе N" (теоремы 22, 23) Ленский рассматривает именно случай невзаимодействующих троек, видимо, считая его допустимым.

Что-то я такого не замечаю там. Смотрим пункт с). Конкретно все написано. И нигде не говорится, что тройкам ничего нельзя поставить в соответствие.

Теорема 21(2):
$a*b*c=E, a*b=c, a*c=b, b*c=a$
$d*e*f=E, d*e=f, d*f=e, e*f=d$
Получаем две невзаимодействующие системы.

STilda писал(а):

Если по такой "группе" строить систему чисел, например. Теоремы Фробениуса, Машке, Веддерберна кажется обходят их стороной.

STilda писал(а):

Потому я алгебру над этой "системой" не рассматриваю. Потому, что, как вы и намекаете мне, она будет не замкнутой по причине наличия $a*b$. А если исключить выражения, приводящие к таким слагаемым, то получим просто две отдельных алгебры.

Вот вы и ответили на свой вопрос: такие системы стараетесь обходить стороной и вы.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Теорема 21(2):
$a*b*c=E, a*b=c, a*c=b, b*c=a$
$d*e*f=E, d*e=f, d*f=e, e*f=d$
Получаем две невзаимодействующие системы.

АА. теперь я вас понял. Не получаем мы не взаимодействующие системы. В этой системе тройки не стали абсолютно отдельными. Потому, что есть еще другие соотношения, задающие связь между тройками:
$a*b*c*d*e*f=E$,
$a*b*d=c*e*f$,
$b*c*d=a*e*f$,
$a*d=b*c*e*f$,
...
Этими соотношениями система удерживается и на набор нескольких независимых не распадается. Такого не наблюдается в предыдущих рассматриваемых.

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Если по такой "группе" строить систему чисел, например. Теоремы Фробениуса, Машке, Веддерберна кажется обходят их стороной.

STilda писал(а):

Потому я алгебру над этой "системой" не рассматриваю. Потому, что, как вы и намекаете мне, она будет не замкнутой по причине наличия $a*b$. А если исключить выражения, приводящие к таким слагаемым, то получим просто две отдельных алгебры.

Вот вы и ответили на свой вопрос: такие системы стараетесь обходить стороной и вы.

Постойте, в последнем случае речь шла про предложенную вами "систему" $a^2=b^2=E$. В первом случае речь идет про, например, самую первую, что я показывал. Там будет система. И по ней можно пробовать строить алгебру.

Впрочем, полезное из этой темы я уже заполучил. Не знаю будет ли еще чего-то. Но алгебру нужно бы построить, чтоб на изоморфизм проверить хотябы.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Теорема 21(2):
$a*b*c=E, a*b=c, a*c=b, b*c=a$
$d*e*f=E, d*e=f, d*f=e, e*f=d$
Получаем две невзаимодействующие системы.

АА. теперь я вас понял. Не получаем мы не взаимодействующие системы. В этой системе тройки не стали абсолютно отдельными. Потому, что есть еще другие соотношения, задающие связь между тройками:
$a*b*c*d*e*f=E$,
$a*b*d=c*e*f$,
$b*c*d=a*e*f$,
$a*d=b*c*e*f$,
...
Этими соотношениями система удерживается и на набор нескольких независимых не распадается. Такого не наблюдается в предыдущих рассматриваемых.

$a*b*c*d*e*f=E*d*e*f=E$
$a*b*d=c*d=c*e*f$
$b*c*d=a*d=a*e*f$
$a*d=b*c*d=b*c*e*f$
Как видите, это по сути ничем не отличается от моего примера с $a*b=a*c*d$ - $a,b,c$ никак "не вплетаются" в систему к $d,e,f$.

STilda писал(а):

Потому я алгебру над этой "системой" не рассматриваю. Потому, что, как вы и намекаете мне, она будет не замкнутой по причине наличия $a*b$.

STilda писал(а):

Постойте, в последнем случае речь шла про предложенную вами "систему" $a^2=b^2=E$. В первом случае речь идет про, например, самую первую, что я показывал.

В ней тоже есть проблема с наличием $a*b$.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

$a*b*c*d*e*f=E*d*e*f=E$
$a*b*d=c*d=c*e*f$
$b*c*d=a*d=a*e*f$
$a*d=b*c*d=b*c*e*f$
Как видите, это по сути ничем не отличается от моего примера с $a*b=a*c*d$ - $a,b,c$ никак "не вплетаются" в систему к $d,e,f$.

Я не вижу, чем оно похоже. То, что из одних соотношений выводятся другие - должно быть. Все они выводятся из начальных $a^2=b^2=...=e^2=E$. Если хотите формальную разницу, могу предложить - в вашем случае для вывода $a*b=a*c*d$ понадобилось только одно $b=c*d$. В этой цитате, и во всех других моделях, для вывода некоторого соотношения необходимо больше одного исходного соотношения.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

$a*b*c*d*e*f=E*d*e*f=E$
$a*b*d=c*d=c*e*f$
$b*c*d=a*d=a*e*f$
$a*d=b*c*d=b*c*e*f$
Как видите, это по сути ничем не отличается от моего примера с $a*b=a*c*d$ - $a,b,c$ никак "не вплетаются" в систему к $d,e,f$.

Я не вижу, чем оно похоже. То, что из одних соотношений выводятся другие - должно быть. Все они выводятся из начальных $a^2=b^2=...=e^2=E$.

Это неправда. Вы уже убедились в том, что при начальных соотношениях $a^2=b^2=c^2=d^2=E$ возможна как система, где $a*b*c*d=E$, так и система, где $b*c*d=E$. Значит, эти новые соотношения не выводятся из старых, а произвольно выбираются из нескольких возможных вариантов.

STilda писал(а):

Если хотите формальную разницу, могу предложить - в вашем случае для вывода $a*b=a*c*d$ понадобилось только одно $b=c*d$. В этой цитате, и во всех других моделях, для вывода некоторого соотношения необходимо больше одного исходного соотношения.

Эта формальная разница не имеет никакого отношения к вашему предыдущему объяснению - "не вплетается".

Тогда получается, что в моем примере $a*b*c*d=a*d*d=a$ - тоже понадобилось больше одного соотношения. Значит, две системы там тоже взаимодействующие?

На самом деле настоящая формальная разница в другом: система состоит из двух независимых подсистем, если действия в каждой из подсистем всегда можно производить независимо. Тогда в $a*b*d$ в подсистеме $(a,b,c)$ заменяем $a*b=c$, а в подсистеме $(d,e,f)$ заменяем $d=e*f$, получая в результате $c*e*f$. Это и формализует ваши слова "не вплетается". В моделях Ленского двуполярных лок 4, 5 и 6 такое разделение на две независимые подсистемы было невозможно, а в моей модели двуполярной локи 6 и в модели Ленского двуполярной локи 7 - возможно.

[STilda]

tolstopuz, чем отличаются набор из двух независимых систем
$a*b*c=E,a*b=c,a*c=b,b*c=a,a^2=b^2=c^2=E$
$d*e*f=E,d*e=f,d*f=e,e*f=d,d^2=e^2=f^2=E$
от системы "Двухполярная лока 7"
???

Система может включать в себя целиком некую меньшую систему.

Пример тому - группа из двух элементов $+*+=+,+*-=-,-*-=+$ включает в себя группу из одного элемента $+*+=+$.

Система не распадается на те цельные подсистемы, которые она в себя включает, и не превращается в набор.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Система может включать в себя целиком некую меньшую систему.

Пример тому - группа из двух элементов $+*+=+,+*-=-,-*-=+$ включает в себя группу из одного элемента $+*+=+$.

Система не распадается на те цельные подсистемы, которые она в себя включает, и не превращается в набор.

Тогда о чем же вы говорили мне раньше?

STilda писал(а):

Потому, мой вывод: ваш вариант - это набор из двух не взаимодействующих систем. Первая - лока 2 - $a^2=E$, вторая - двухполярная лока 4 - $b^2=c^2=d^2=E$.

[STilda]

Хорошо, предлагаю согласовать понимание терминов "набор систем" и "система". Можно взять исключительно для групп. Чем отличается набор групп от одной группы?

Считаем, что имеем множество элементов $\{a,b,c,d,E\}$. Обозначение $E$ по умолчанию остается за единицей. Единица может встречаться во всех системах набора.
Группа будет такая:
$a^2=b,a^3=c,a^4=d,a^5=E$
Набор из двух групп, например, такой:
$a^2=E,a*E=a,E*E=E$ - первая группа (лока2),
$b*c*d=E,b*c=d,d*c=b,b*d=c$ - вторая группа (двухполярная лока 4).
Очевидно этот набор объединить в одну группу нельзя (не меняя заданных законов), тоесть, как бы, этот набор не может считаться одной группой (системой).
Ну и сразу вопрос: согласны ли вы с таким примером группы и набора групп составленными из одного множества элементов?

Мое понимание отличий нижеследующие:

Речь идет о наборе систем, если исключается из рассмотрения взаимодействие элементов из разных систем набора.
Речь идет об одной системе, если непротиворечиво задаются взаимодействия любых комбинаций элементов.

В пределах одной системы можем наблюдать целостные замкнутые подсистемы, но это не обязательно приводит к распадению на набор систем. Комплексные числа включают в себя действительные как замкнутую (относительно умножения) подсистему. Но при этом нельзя сказать, что группа $\{i,-1,-i,+1\}$ распадается на набор из двух $\{-1,+1\}$, $\{i,-i,+1\}$.

Я не согласен с тем, что умножив все соотношения двухполярной локи 4 на $a$, мы превратим набор из двух групп в одну систему. Аналогично можно было бы поступить, будь у нас еще один элемент $s^2=E$. Умножили бы двухполярную локу 4 еще и на $s$. Но тогда, для двухполярной локи 4 элементы $a$ и $s$ будут неотличимы, никак себя не проявляют. А значит на самом деле $a$ и $s$ не вошли в систему к $b,c,d$.

Приведите свое понимание различий между системой и набором систем.

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

ой, я там погорячился, вторая группа на самом деле не группа, но, не обращайте внимания, сути моей мысли это не меняет.