Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #870603 писал(а):

Подсказка: без соображений компактности доказать существование максимума невозможно в принципе.

Да какое вообще отношение имеет существование максимума к монотонности, кроме как через ваше доказательство?!

-- 01.06.2014, 11:20 --

mishafromusa в сообщении #870608 писал(а):

Это модуль-то патологичен?

Нет, но он кусочно-гладкий.

-- 01.06.2014, 11:22 --

ewert в сообщении #870601 писал(а):

пожалуйста; доказывайте (например) формулу для погрешности интерполяции без теоремы Ролля, а я погляжу

Важны оценки производных на интервалах, а не то, что они где-то принимают какие-то точные значения.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870608 писал(а):

Да какое вообще отношение имеет существование максимума к монотонности, кроме как через ваше доказательство?!

Не знаю -- это была Ваша цепочка. Однако по дороге Вы наехали на теорему Ферма: я, мол, и без компактности с ней справлюсь. Ну так не справитесь.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870153 писал(а):

robot80 в сообщении #870142 писал(а):

Единственное место в курсе высшей математики для ВТУЗов, где пределы конструктивно используются - это исследование поведение функции вблизи асимптот

Это уже немало. Но, кроме того, есть ещё признаки сравнения, без которых жизни вообще нет, даже во втузах.
Ерунда, можно обойтись обычными неравенствами вместо разговоров о пределах.

Так что без пределов никак, увы. Другое дело, что в стандартном курсе пределы занимают и впрямь раздражающе много места; как с этим бороться -- не знаю.

Ну так Вам же предлагают как, а Вы упираетесь.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870612 писал(а):

Ну так Вам же предлагают как,

Да Вы уже много чего напредлагали. Как всё-таки насчёт Ферма?

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870137 писал(а):

Все эти алгебраические штучки имеют как минимум два недостатка: 1) маскируют физический смысл понятия и 2) создают иллюзию, что практические вычисления можно осуществлять точно.

1)Это неправда, основная оценка (1), стр. 3 совершенно явно придаёт определению и физический, и геометрический смысл. 2)А с многочленами, рациональными функциями и корнями и можно вычислять точно, и даже степенные ряды можно раскладывать на множители однозначно. В более общих случаях нужны неравенства.

-- 01.06.2014, 11:48 --

ewert в сообщении #870613 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870612 писал(а):

Ну так Вам же предлагают как,

Да Вы уже много чего напредлагали. Как всё-таки насчёт Ферма?

Предлагается в качестве упражнения. Подсказка: используйте определение производной,
Только надо уточнить, что такое теорема Ферма, она говорит, что на максимуме внутри интервала производная нуль.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870614 писал(а):

Предлагается в качестве упражнения.

Вам просто не за что без компактности зацепиться. Всё, что Вы сможете -- это протащить контрабандой какую-нибудь кустарную компактность.

-- Вс июн 01, 2014 19:52:11 --

mishafromusa в сообщении #870608 писал(а):

Важны оценки производных на интервалах,

И откуда Вы их вытащите?

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870616 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870614 писал(а):

Предлагается в качестве упражнения.

Вам просто не за что без компактности зацепиться. Всё, что Вы сможете -- это протащить контрабандой какую-нибудь кустарную компактность.

Только надо уточнить, что такое теорема Ферма, она говорит, что на максимуме внутри интервала производная нуль.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870619 писал(а):

что такое теорема Ферма, она говорит, что на максимуме внутри интервала производная нуль.

Да, я перепутал -- имел в виду Вейерштрасса. Для Ферма компактность, естественно, не нужна. А как насчёт Вейерштрасса? Тоже ведь далеко не последняя теорема, мягко говоря.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #870304 писал(а):

Разумеется, это все неэквивалентные вещи, но что это упрощает?

Упрощет это то, что вместо туманных для большинства студентов пределов предлагаются вполне конкретные неравенства.

-- 01.06.2014, 12:03 --

ewert в сообщении #870624 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870619 писал(а):

что такое теорема Ферма, она говорит, что на максимуме внутри интервала производная нуль.

Да, я перепутал -- имел в виду Вейерштрасса. Для Ферма компактность, естественно, не нужна. А как насчёт Вейерштрасса? Тоже ведь далеко не последняя теорема, мягко говоря.

А она в этом подходе просто не нужна.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870626 писал(а):

вместо туманных для большинства студентов пределов предлагаются вполне конкретные неравенства.

А Вы уверены, что упрощает?... Вместо очевидных (на интуитивном уровне как минимум) пределов предлагаются какие-то загадочные, невесть с какого потолка берущиеся неравенства.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870616 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870608
писал(а):
Важны оценки производных на интервалах,
И откуда Вы их вытащите?

Из значений конечных разделённых разностей.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870634 писал(а):

Из значений конечных разделённых разностей.

Во-первых: конечных или разделённых? Во-вторых, пусть даже конечных; так откуда там оценки производных?...

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870629 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870626 писал(а):

вместо туманных для большинства студентов пределов предлагаются вполне конкретные неравенства.

А Вы уверены, что упрощает?... Вместо очевидных (на интуитивном уровне как минимум) пределов предлагаются какие-то загадочные, невесть с какого потолка берущиеся неравенства.

Совсем не с потолка, почитайте статью, эти неравнства используются для объяснения почему многочлены с положительной производной возрастают и почему касательная, вычисленная через производную касается графика. Да и вообще, возьмите многочлен и распишите его по степеням приращения аргумента, вот Вам и потолок.

-- 01.06.2014, 12:21 --

ewert в сообщении #870638 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870634 писал(а):

Из значений конечных разделённых разностей.

Во-первых: конечных или разделённых? Во-вторых, пусть даже конечных; так откуда там оценки производных?...

Я не совсем понял в чём состоит задача. Можно уточнить?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870643 писал(а):

Я не совсем понял в чём состоит задача.

Вы утверждали, что та формула для погрешности сама по себе не важна, а важна лишь её оценка через производные. Допустим. Затем Вы сказали, что те оценки можно как-то вытащить из разделённых разностей; что, в принципе, правда, хотя это и не самый быстрый способ. Но: как вытащить-то?...

[mishafromusa]

Munin в сообщении #870192 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870122
писал(а):
С другой стороны, общепринятое определение производной является частным случаем этого подхода, когда разложение на множители происходит для функций от $x$, непрерывных в точке $a$.
Нет, раскладывать на множители можно формулу. А функцию - можно раскладывать в ряд Фурье. Я сообразил, что вашим способом вы не возьмёте производную ни от $e^x,$ ни от $\sin x.$ Если только не подмените смысл выражения "раскладывать на множители", и не подставите в него одно из двух:
- честное объяснение "замечательных пределов" (не обязательно как пределов, а может быть, чего-то им эквивалентного);
- аксиоматическое объявление, что "производными от таких-то функций являются такие-то функции".

Так: под разложением на множители я (и не только я) понимаю представление данной функции в виде произведения. Не надо цепляться к словам. Все нужные неравенства для синуса получаются из элементарной геометрии, мы это уже обсуждали в ветке про Арнольда. Кроме того, производные синуса и косинуса совершенно очевидны, если посмотреть на движение точки по окружности. Экспоненту можно ввести многими способами, например, как степенной ряд. Самое простое -- это определить натуральный логарифм через интеграл от $1/x$, для которого формула для интеграла от степени не работает, т.к. получается $0/0$, но зато из геометрических соображений можно подметить, что это какой-то логарифм. Ну так вот, экспонента -- это обратная функция этого логарифма, и её производная может быть вычислена, как производная от обратной функции. Про всё это ещё Грегори знал в середине 17-го века

-- 01.06.2014, 13:01 --

ewert в сообщении #870645 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870643 писал(а):

Я не совсем понял в чём состоит задача.

Вы утверждали, что та формула для погрешности сама по себе не важна, а важна лишь её оценка через производные. Допустим. Затем Вы сказали, что те оценки можно как-то вытащить из разделённых разностей; что, в принципе, правда, хотя это и не самый быстрый способ. Но: как вытащить-то?...

А что дано то, и что надо оценить?

И вот ещё что. Если Вам так нравится теорема Ролля, то её просто доказать в моём подходе, потому что принцип монотонности у меня есть независимо от этой теоремы. Если производная не везде нуль, то она где-то положительна, а значит и где-то отрицательная, иначе функция не могла бы быть одной и той же на концах интервала. Теперь вспомним, что у меня все производные непрерывные, поэтому производная имеет корень. Тут, конечно, нужна полнота, я признаю.