Алгебра. Факторгруппа. Изоморфизм.

[julyk]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу!
Доказать, что факторгруппа $GL_{2}\left(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\right)$ по ее центру изоморфна группе $S_4.$

Центр факторгруппы - подгруппа $\{E, -E\}.$ Каждый смежный класс содержит матрицу и обратную ей. Элементы - матрицы размера 2 на 2, с элементами $\{0,1,2\}.$ Всевозможных матриц такого вида - 48, значит 24 смежных класса по 2 элемента, следовательно, факторгруппа состоит из 24 элементов. Как можно показать изоморфизм? Помимо выписывания всех элементов наверняка есть какой-то способ?

Большое спасибо).

[Sonic86]

Есть такой способ: выбрать какое-нибудь точное действие группы на каком-то объекте, сводящемуся к действию на конечном множестве $M$ и потом найти из простых соображений саму группу как подмножество группы перестановок $S(M)$. Выбирать комбинаторный объект удобно исходя из смысла группы. Если будет плохо получаться, скачайте Богопольского - там есть как минимум похожие примеры. Но придется хорошо подумать.

[patzer2097]

julyk в сообщении #870376 писал(а):

Помимо выписывания всех элементов наверняка есть какой-то способ?

Не факт. Даже если посмотреть на классификацию групп порядка $24$, то не очень понятно, как с ходу, не выписывая всех элементов, отличить Вашу группу от (к примеру) 1-й, 4-й и 8-й в этом списке. С остальными, впрочем, проблем нет -- у них нетривиальный центр