2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Алгебра. Факторгруппа. Изоморфизм.
Сообщение01.06.2014, 15:57 
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу!
Доказать, что факторгруппа $GL_{2}\left(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\right)$ по ее центру изоморфна группе $S_4.$

Центр факторгруппы - подгруппа $\{E, -E\}.$ Каждый смежный класс содержит матрицу и обратную ей. Элементы - матрицы размера 2 на 2, с элементами $\{0,1,2\}.$ Всевозможных матриц такого вида - 48, значит 24 смежных класса по 2 элемента, следовательно, факторгруппа состоит из 24 элементов. Как можно показать изоморфизм? Помимо выписывания всех элементов наверняка есть какой-то способ?

Большое спасибо).

 
 
 
 Re: Алгебра. Факторгруппа. Изоморфизм.
Сообщение01.06.2014, 16:42 
Есть такой способ: выбрать какое-нибудь точное действие группы на каком-то объекте, сводящемуся к действию на конечном множестве $M$ и потом найти из простых соображений саму группу как подмножество группы перестановок $S(M)$. Выбирать комбинаторный объект удобно исходя из смысла группы. Если будет плохо получаться, скачайте Богопольского - там есть как минимум похожие примеры. Но придется хорошо подумать.

 
 
 
 Re: Алгебра. Факторгруппа. Изоморфизм.
Сообщение01.06.2014, 16:45 
julyk в сообщении #870376 писал(а):
Помимо выписывания всех элементов наверняка есть какой-то способ?

Не факт. Даже если посмотреть на классификацию групп порядка $24$, то не очень понятно, как с ходу, не выписывая всех элементов, отличить Вашу группу от (к примеру) 1-й, 4-й и 8-й в этом списке. С остальными, впрочем, проблем нет -- у них нетривиальный центр 8-)

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group