Граничные значения функции из пространства Харди

[yosya05]

Пусть $D \subset \mathbb{C}$ - открытый круг радиуса 1 с центром в нуле. Пусть функция $f$, аналитическая в $D$, такова, что

$\sup \limits_{r \in [0,1)} \int \limits_0^{2 \pi} |f(r e^{i \theta})|^2 \, d \theta < + \infty$.

Доказать, что существует функция $F \in L^2 [0, 2 \pi]$, для которой

$f(z) = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{F(\theta) e^{i \theta} \, d \theta}{e^{i \theta} - z}$

при любом $z \in D$.

Насколько я понимаю необходимо воспользоваться теоремой Банаха-Алаоглу и теоремой о структуре функционалов в гильбертовом пространстве. Но у меня, честно говоря, не получилось связать это все.

[Oleg Zubelevich]

запишием теорему Коши:

$$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{r_n f(r_ne^{i\theta})e^{i\theta}d\theta}{r_ne^{i\theta}-z},\quad r_n<1\quad (*)$$

И пусть $r_n\to 1$.
В силу условия задачи, последовательность функций $F_n(\theta)= f(r_ne^{i\theta})$ ограничена в $L^2(\mathbb{T}),\quad \mathbb{T}=\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$, следовательно из нее можно извлечь слабо сходящуюся (в $L^2(\mathbb{T})$) подпоследовательность, которую будем обозначать также. Остается подставить эту подпоследовательность в формулу (*) и перейти к пределу:

$$(F_n,\psi_n)_{L^2(\mathbb{T})}\to (F,\psi)_{L^2(\mathbb{T})},\quad \psi_n(\theta)=\overline{\Big(\frac{r_ne^{i\theta}}{r_ne^{i\theta}-z}\Big)},\quad \psi(\theta)=\overline{\Big(\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta}-z}\Big)}$$

при переходе к пределу проявите аккуратность

[Oleg Zubelevich]

гильбертовость , кстати , ни при чем. $L^2$ можно заменить на $L^p,\quad p\in(1,\infty)$. Для теоремы Эберлейна-Шмульяна нужна только рефлексивность

-- Пт янв 24, 2014 13:34:47 --

вопрос на зысыпку: единственна ли функция $F$?

[yosya05]

Спасибо. Да, примерно так и решилось.