Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?

[ewert]

ex-math в сообщении #869714 писал(а):

Как я сейчас понял, "производной" Вы и назвали подынтегральную функцию, которая $F'$, а я подумал про $f'$, что и вызвало вопрос.

А, ну понятно. Просто есть две эквивалентных формулировки теоремы Ньютона-Лейбница: про приращение первообразной и про интеграл от производной. В первом случае приходится предполагать существование этой первообразной -- или, что то же, предполагать всюду дифференцируемость во втором. Однако даже если предположить существование у некоторой функции первообразной -- из этого ещё непосредственно не следует интегрируемость самой функции. Кроме, конечно, банального случая её непрерывности (когда и предполагать дополнительно ничего не приходится).

[Xaositect]

ewert в сообщении #869696 писал(а):

Другое дело, что интегрируемость производной вроде как следует из её всюду существования и ограниченности, но это -- факт довольно нетривиальный, и я даже не помню, как он доказывается, так что в учебном курсе гораздо проще эту интегрируемость просто предположить (во всяком случае для начала).

А кстати: кто-нибудь знает, как?

В "Контрпримерах в анализе" есть контрпример.

[g______d]

ewert в сообщении #869696 писал(а):

Другое дело, что интегрируемость производной вроде как следует из её всюду существования и ограниченности

Вроде нет, http://www.math.uga.edu/~pete/Goffman77.pdf

[Xaositect]

g______d в сообщении #869731 писал(а):

Вроде нет, http://www.math.uga.edu/~pete/Goffman77.pdf

Хм, меня глючит или там непрерывная функция получается?

[g______d]

Xaositect в сообщении #869735 писал(а):

Хм, меня глючит или там непрерывная функция получается?

Только на $G$.

-- Пт, 30 май 2014 12:33:07 --

Xaositect в сообщении #869730 писал(а):

В "Контрпримерах в анализе" есть контрпример.

Да, там тоже есть, стр. 139 русского издания.

[Xaositect]

g______d в сообщении #869740 писал(а):

Только на $G$.

Да, понятно.

[ewert]

g______d в сообщении #869740 писал(а):

Да, там тоже есть, стр. 139 русского издания.

Да, действительно. Ну, значит, приходится всё-таки интегрируемость предполагать.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #869590 писал(а):

И ссылок никаких у Арнольда нет. (И сам он их больше не даст.) И в известных исторических документах такого нет.

То, что формулу Ньютона-Лейбница придумал Барроу, упоминается в книжке Отто Теплица "The Calculus: A Genetic Approach," раздел 23, со ссылкой на работы Барроу. Это достаточно независимый источник.

-- 30.05.2014, 23:29 --

ewert в сообщении #869696 писал(а):

Другое дело, что интегрируемость производной вроде как следует из её всюду существования и ограниченности, но это -- факт довольно нетривиальный, и я даже не помню, как он доказывается, так что в учебном курсе гораздо проще эту интегрируемость просто предположить (во всяком случае для начала).

А кстати: кто-нибудь знает, как?

Можно воспользоваться теоремой Лебега об ограниченной сходимости. В самом деле, $\Delta f /\Delta x$ сходится к $f'$ поточечно. Но это уже не элементарный матан. Кстати, если использовать интеграл Курцвеля-Хенстока, то любая производная будет интегрируемой, и теорема Ньютона-Лейбница будет верной всегда. К несчастью, К-Х интеграл без компактности замкнутого интервала не строится, а это тоже не совсем элементарно.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #869840 писал(а):

То, что формулу Ньютона-Лейбница придумал Барроу, упоминается в книжке Отто Теплица "The Calculus: A Genetic Approach," раздел 23, со ссылкой на работы Барроу. Это достаточно независимый источник.

Вот только сам Тёплиц не беспристрастен, как выясняется (см. по ссылке, приведённой Oleg-ом Zubelevich-ем). Хорошо, получается, что Арнольд не сам придумал отсебятину, а некритически воспринял Тёплица. (Кстати, это тот самый Тёплиц.)

[g______d]

Вот здесь, по-моему, достаточно подробное изложение вопроса, с картинками.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #869882 писал(а):

Вот только сам Тёплиц не беспристрастен, как выясняется (см. по ссылке, приведённой Oleg-ом Zubelevich-ем). Хорошо, получается, что Арнольд не сам придумал отсебятину, а некритически воспринял Тёплица. (Кстати, это тот самый Тёплиц.)

Пардон, Теплиц приводит ссылку на работы Барроу, которуе опубликованы. Их можно почитать и увидеть, есть ли там действительно теорема, в ссылке Zubelevichа и g______d этого не отрицается.

Ещё я хотел заметить, что подходить к работам Барроу и Ньютона с нашими "современными" определениями немного наивно. В те времена под функциями понимались достаточно явные конечные выражения или степенные ряды, так что проблем с интегрируемостью производной просто не возникало. Да и Коши не делал особого различия между поточечной и равномерной сходимостью и поточечной и равномерной дифференцируемостью, и если дифференцируемость понимать, как равномерную, то производная будет автоматически непрерывной, и поэтому интегрируемой (по Дарбу или Риману). Кстати, Петер Лакс написал в 70х годах двухтомник "Calculus with Applications," в котором дифференцируемость понималась именно как (локально) равномерная, и это упрощало изложение.

Кстати ещё об Арнольде. В одной из видео-лекций (не помню какой, к сожалению), он вскользь заметил, что Коши сначала работал с разными модулями непрерывности (и дифференцируемости) и ввёл свои общие понятия потому, что ему стало утомительно следить за этими модулями. Мне это кажется очень правдоподобным. Было бы интересно вернуться к этому "допредельному" воззрению на элементарный анализ, это сделало бы его гораздо понятнее для публики, не склонной к математическим абстракциям. Интересто, что все формулы остаются при этом те же самые, меняются лишь идеологически-математические заклинания при их применении, и эти заклинания гораздо проще в случае конкретных модулей.

[sergei1961]

Про утверждение здесь, что неправда, будто Барлоу влиял на Ньютона. Один из самых авторитетных источников по истории математики-сайт
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

Авторитетен количеством и точностью информации, отсутствием выдумок и сплетен.
Вот цитата оттуда из статьи про Барлоу:
Isaac Newton attended these lectures and had many private discussions with Barrow about the work. Newton took much encouragement from these sessions with Barrow and they influenced his work greatly.

John Collins published most of Barrow's lectures: Lectiones Opticae was published in 1669, Lectiones Geometricae in 1670 and Lectiones Mathematicae in 1683. Barrow did not prepare his work for publishing, Newton and others undertook this task.

Так что Ньютон и общался, и признавал влияние, и издавал после смерти его труды, что не для всякого делают. Не знаю другого примера, чтобы он так к кому -нибудь относился.

Кстати про то, что не в дневниках же написал. Есть великий математик, который с детства до смерти каждый день что получил записывал именно в дневниках. До сих пор разбирают. Так что и так тоже бывает.

[patzer2097]

sergei1961 в сообщении #869951 писал(а):

с детства до смерти каждый день что получил записывал именно в дневниках. До сих пор разбирают.

Helmut Wielandt, кажется, так делал?

[sergei1961]

Я знаю про Гаусса.

[Munin]

sergei1961 в сообщении #869951 писал(а):

Есть великий математик, который с детства до смерти каждый день что получил записывал именно в дневниках. До сих пор разбирают. Так что и так тоже бывает.

Я о другом. В дневнике не может быть записано, что кто-то что-то не сделал.