2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 19:35 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #869638 писал(а):
Она следует действительно из теоремы Лагранжа, но безо всякого Барроу

только из теоремы Лагранжа не следует, надо другие содержательные утверждения привлекать
ewert в сообщении #869638 писал(а):
С другой стороны, из теоремы Барроу она тоже следует, но уже безо всякого Лагранжа и при дополнительном предположении, что производная непрерывна.

ну доказывайте без теоремы Лагранжа, что разность первообразных является константой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 19:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #869643 писал(а):
только из теоремы Лагранжа не следует, надо другие содержательные утверждения привлекать

Не надо. Только из Лагранжа и определения определённого интеграла (в предположении, естественно, что производная существует в интервале и интегрируема).

Oleg Zubelevich в сообщении #869643 писал(а):
ну доказывайте без теоремы Лагранжа, что разность первообразных является константой.

А понятие первообразной не имеет отношения к понятию определённого интеграла. Это вещь гораздо более ранняя и давно к этому моменту уже пройденная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 20:11 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #869647 писал(а):
Не надо. Только из Лагранжа и определения определённого интеграла (в предположении, естественно, что производная существует в интервале и интегрируема).


приведите ссылочку плз на учебник в котором теорема Ньютона-Лейбница получена "Только из Лагранжа и определения определённого интеграла" да еще для случая когда производная только лишь интегрируема.

-- Пт май 30, 2014 20:17:51 --

ewert в сообщении #869647 писал(а):
А понятие первообразной не имеет отношения к понятию определённого интеграла. Это вещь гораздо более ранняя и давно к этому моменту уже пройденная.

а какое отношение к содержанию доказательства теоремы имеет учебный план?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Oleg Zubelevich в сообщении #869657 писал(а):
приведите ссылочку плз на учебник в котором теорема Ньютона-Лейбница получена "только из Лагранжа" да еще для случая когда производная только лишь интегрируема.


Это же очевидно: для любого разбиения можно так выбрать точки, что соответствующая сумма Римана будет в точности равна $F(b)-F(a)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 20:28 


10/02/11
6786
g______d в сообщении #869661 писал(а):
Это же очевидно: для любого разбиения можно так выбрать точки, что соответствующая сумма Римана будет в точности равна $F(b)-F(a)$.


очень хорошо. теперь ссылку на учебник предъявите в котором теорема Ньютона-Лейбница доказана вот так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Oleg Zubelevich в сообщении #869664 писал(а):
очень хорошо. теперь ссылку на учебник предъявите в котором теорема Ньютона-Лейбница доказана вот так.


Рудин, теорема 6.16.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 20:40 


10/02/11
6786
да, действительно, а я привык к другой технике.

-- Пт май 30, 2014 21:07:58 --

ну надо же самое простое доказательство и так редко встречается. У Никольского еще также сделано

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Название "теорема Барроу" сильно неканонично. Пришлось использовать поиск, чтобы понять о чем вообще речь.
ewert
А причем тут производная? Вроде достаточно непрерывности подынтегральной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:35 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

g______d:

Пардон, но что тогда мешает действовать также в случае произвольного банахова пространства $X$.

Теорема. Пусть функция $f\in C([a,b],X)$ такова, что $f'(x)$ интегрируема по Риману на $[a,b]$. Тогда
$$\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$$

Доказательство. Применим теорему Ньютона -Лейбница к функции $x\mapsto(\psi, f(x)),\quad\psi\in X'$
получим
$$\Big(\psi,\int_a^bf'(x)dx-(f(b)-f(a))\Big)=0,\quad \forall\psi$$

причем это утверждение еще можно ослаблять вводя "слабое " определение производной через $X'$
но ведь про это должно быть где-то написано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ex-math в сообщении #869690 писал(а):
Название "теорема Барроу" сильно неканонично.

Ну видите ли -- эти два утверждения качественно различаются по нужным для них предположениям. Надо же их как-то различать и по названиям. Традиционно к этой и приписана фамилия Барроу; насколько исторически справедливо -- не знаю, да это и неинтересно. Просто такая традиция.

ex-math в сообщении #869690 писал(а):
А причем тут производная? Вроде достаточно непрерывности подынтегральной функции.

В какой из теорем?... Для Барроу (про интеграл с переменным верхним пределом) непрерывность подынтегральной функции избыточна -- она тупо работает в точках непрерывности подынтегральной функции и в принципе не может работать для точек разрыва (хотя бы потому, что в них функцию можно переопределить как угодно, что никак не скажется на интеграле). Для Ньютона-Лейбница непрерывность производной тоже не нужна, но вот интегрируемость -- обязательна. Другое дело, что интегрируемость производной вроде как следует из её всюду существования и ограниченности, но это -- факт довольно нетривиальный, и я даже не помню, как он доказывается, так что в учебном курсе гораздо проще эту интегрируемость просто предположить (во всяком случае для начала).

А кстати: кто-нибудь знает, как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:45 


10/02/11
6786
--

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #869694 писал(а):
Доказательство. Применим теорему Ньютона -Лейбница к функции $x\mapsto(\psi, f(x)),\quad\psi\in X'$

Это уже не "также" и даже не "так же", это уже называется ссылкой. А буквально "так же" нельзя -- нет формулы Лейбница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:48 


10/02/11
6786
чего чего? впрочем вопрос был задан участнику мнение которого я уважаю (в отлиие от Вашего)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 21:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #869700 писал(а):
Колмогоров-Фомин

Да, я слышал про существование такой книжки. А что?

-- Пт май 30, 2014 22:56:24 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #869704 писал(а):
которого я уважаю (в отлиие от Вашего)

Уважать или не уважать Вы можете кого угодно -- это Ваше личное дело. Но вот допускать элементарные логические подтасовки -- прилично уже не вполне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?
Сообщение30.05.2014, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
ewert
Просто всегда ее называл "теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу", а тут оказалось Барроу...

Я имел в виду доказательство ФНЛ исключительно из теоремы Лагранжа. Как я сейчас понял, "производной" Вы и назвали подынтегральную функцию, которая $F'$, а я подумал про $f'$, что и вызвало вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group