319я производная

[frankenstein]

Добрые вечер.
Задача звучит достаточно устрашающе.
Найти 319-ю производную в нуле функции
$f(x) = \frac {x^2+17} {x^4 - 5x^2+4}$
Разложил знаменатель на произведение многочленов
$ \frac { x^2 + 17 } { (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) } $
Начал искать призводную, следующее выражение получилось
громоздким.
$ \frac {-2x^5 - 68x^3 + 178x}{(x^2-4)^2(x^2-1)^2} $

Ведь можно не вычисляя 319 раз производные решить задачу
Дальше затрудняюсь, точно знаю, есть легкий и хитрых способ, но
не могу найти.

[kp9r4d]

frankenstein в сообщении #869685 писал(а):

Разложил знаменатель на произведение многочленов

Разложите на простейшие.

[frankenstein]

Получилось так:
$ f(x) = \frac {11}{40(x-4)} - \frac {11}{40(x+4)} + \frac {3}{5(x+1)} - \frac {3}{5(x-1)} $

[kp9r4d]

Ну может и так. Теперь можно, например, каждое слагаемое привести к виду $a \frac{1}{1-bx}$ и разложить по формуле геометрической прогрессии, а затем почленно сложить.

[ex-math]

Проще сразу посчитать их производные.

[frankenstein]

ex-math в сообщении #869719 писал(а):

Проще сразу посчитать их производные.

319-е?

-- 31.05.2014, 00:18 --

Получилось:

$ \frac{11}{40(x-4)} = -\frac{11}{160} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}x} $

$ -\frac{11}{40(x+4)} = -\frac{11}{160} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{4}x} $

$ +\frac{3}{5(x+1)} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1+x} $

$ -\frac{3}{5(x-1)} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1-x} $

-- 31.05.2014, 00:20 --

kp9r4d в сообщении #869705 писал(а):

разложить по формуле геометрической прогрессии, а затем почленно сложить.

Не очень представляю что это даст, получится бесконечная сумма и ее мы продифференцируем?

[Ms-dos4]

Скажите, чему равна производная $\[{f^{(n)}} = {(\frac{1}{{x + a}})^{(n)}}\]$. Если не знаете, найдите несколько первых, заметите систему
P.S.А что тема делает в олимпиадных?

[frankenstein]

Ms-dos4 в сообщении #869738 писал(а):

Скажите, чему равна производная $\[{f^{(n)}} = {(\frac{1}{{x + a}})^{(n)}}\]$. Если не знаете, найдите несколько первых, заметите систему
P.S.А что тема делает в олимпиадных?

Общая формула получается вроде такая:
$ (\frac{1}{x+a})^{(n)} = (-1)^n \cdot \frac{n!}{(x+a)^{n+1}} $

Задача такого рода была на олимпиаде "среди друзей".

[Ms-dos4]

Ну да, такая. Вот и всё, задача решена (осталось только применить к вашему случаю и вычислить при $\[x = 0\]$)
P.S.Не знаю что это за олимпиада, но это стандартная задача даже для 10-го класса.

[frankenstein]

Тогда получается
$ f(x)^{(319)} = \frac{11}{40} \cdot (-1)^{319} \cdot \frac{319!}{(x-4)^{320}} - \frac{11}{40} \cdot (-1)^{319} \cdot \frac{319!}{(x+4)^{320}} + \frac{3}{5} \cdot (-1)^{319} \cdot \frac{319!}{(x+1)^{320}} - \frac{3}{5} \cdot (-1)^{319} \cdot \frac{319!}{(x-1)^{320}} $

Производная в нуле это ведь значение производной в точке $x=0$,
думаю нам не разрешилибы пользоваться компом.

[Ms-dos4]

frankenstein
Какие ещё громоздкие вычисления, протрите очки и всмотритесь в выражение (особенно советуется избавится от $\[{( - 1)^{319}}\]$ и подставить таки $\[x = 0\]$), может тогда увидите

[frankenstein]

Ms-dos4 в сообщении #869765 писал(а):

frankenstein
Какие ещё громоздкие вычисления, протрите очки и всмотритесь в выражение (особенно советуется избавится от $\[{( - 1)^{319}}\]$ и подставить таки $\[x = 0\]$), может тогда увидите

Да, слагаемые сократились, .
Ответ: 319я производная функции равна нулю. Если, конечно я не допустил ошибок ).
Спасибо большое.
Интересен метод, который предложил kp9r4d с геометрической прогрессией, хотя я не очень понял как там быть

[Ms-dos4]

frankenstein
Кстати говоря, вы неверно разложили вашу функцию на простейшие, у меня получилось $\[f = \frac{7}{4}(\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}) + 3(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}})\]$, однако ваш ответ всё равно верен, т.к. симметричность и тут сохраняется.

[_Ivana]

Может я чего-то не понимаю? Ряды, прогрессии... А четность функции не может нам помочь?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.