Откуда следует последнее утверждение?

[Tosha]

Откуда следует последнее утверждение? То, что написано до этого -- понял.

Знаю, что вокруг четырехугольника можно описать окружность, если сумма противопол. углов 180 градусов. Но почему тут сумма 180 градусов?

[arseniiv]

Тут можно в обход: эти два угла, так как они равны, можно рассматривать как вписанные углы одной окружности (верно в обе стороны).

-- Сб май 24, 2014 15:46:45 --

Можно и вывести это, конечно.

[gefest_md]

Вокруг $\triangle BOC$ можно описать окружность. Тогда точка $K$ не может не принадлежать этой окружности.

[Tosha]

arseniiv в сообщении #867264 писал(а):

Тут можно в обход: эти два угла, так как они равны, можно рассматривать как вписанные углы одной окружности (верно в обе стороны).

-- Сб май 24, 2014 15:46:45 --

Можно и вывести это, конечно.

Спасибо. А как это можно вывести, с чего начать?

[arseniiv]

Выписать все соотношения на углы всех треугольников, составляющих тот четырёхугольник, углы его самого и данное равенство двух углов. Точный алгоритм не знаю, но должно хватить.

[Tosha]

arseniiv в сообщении #867323 писал(а):

Выписать все соотношения на углы всех треугольников, составляющих тот четырёхугольник, углы его самого и данное равенство двух углов. Точный алгоритм не знаю, но должно хватить.

Расписал, но доказать не получилось(

[arseniiv]

Соболезную.

Ещё вы можете попытаться явно построить на основе этих двух углов описанную окружность: достаточно только показать, что серединные перпендикуляры, построенные на каждой стороне, пересекаются все в одной точке. Думаю, это всё-таки труднее, чем с суммой углов.

[Tosha]

Разобрался. Только вот почему угол ОВС равен углу ОКС. Теперь еще тут загвоздка...

[VoloCh]

Tosha в сообщении #867254 писал(а):

То, что написано до этого -- понял.

Tosha писал(а):

Разобрался. Только вот почему угол ОВС равен углу ОКС. Теперь еще тут загвоздка...

Второе утверждение опровергает первое.

Что же касается указанного признака (ГМТ точек из которых отрезок виден под одним углом есть две дуги окружности), то он есть в учебнике геометрии Шарыгина (7-9 классы). Но можно и вывести и самому. Для этого рассмотрите точку $M$ пересечения $AK$ с $BC$.
Далее, треугольник $OMB$ подобен треугольнику $CMK$ по 2-м углам, значит, $OM:MC=BM:MK$.
Далее, треугольник $OMC$ подобен треугольнику $BMK$ по 2-ому признаку (по углу и сторонам), значит, угол $BKM$ равен углу $OCM$ и, следовательно, равен $CKM$.
Ну, и наконец тогда $\angle BOC + \angle BKC = 180^\circ$, т.е. можно описать окружность. (Этот признак есть и в Атанасяне, и в Погорелове)

[Tosha]

VoloCh в сообщении #869176 писал(а):

Tosha в сообщении #867254 писал(а):

То, что написано до этого -- понял.

Tosha писал(а):

Разобрался. Только вот почему угол ОВС равен углу ОКС. Теперь еще тут загвоздка...

Второе утверждение опровергает первое.

Что же касается указанного признака (ГМТ точек из которых отрезок виден под одним углом есть две дуги окружности), то он есть в учебнике геометрии Шарыгина (7-9 классы). Но можно и вывести и самому. Для этого рассмотрите точку $M$ пересечения $AK$ с $BC$.
Далее, треугольник $OMB$ подобен треугольнику $CMK$ по 2-м углам, значит, $OM:MC=BM:MK$.
Далее, треугольник $OMC$ подобен треугольнику $BMK$ по 2-ому признаку (по углу и сторонам), значит, угол $BKM$ равен углу $OCM$ и, следовательно, равен $CKM$.
Ну, и наконец тогда $\angle BOC + \angle BKC = 180^\circ$, т.е. можно описать окружность. (Этот признак есть и в Атанасяне, и в Погорелове)

Спасибо, написал, что понял, так как на тот момент так показалось, а сейчас уже не понимаю...

[Tosha]

И все-таки, подскажите, пожалуйста, -- почему угол ОВС равен углу ОКС?

[TOTAL]

Tosha в сообщении #869461 писал(а):

И все-таки, подскажите, пожалуйста, -- почему угол ОВС равен углу ОКС?

Чему равен угол $BOC$?

[Tosha]

$\angle(BOC)=2\alpha$. Как из этого следует $\angle(OCB)=\frac{\pi}{2}-\alpha=\angle(OBC)$ -- понимаю.

[TOTAL]

Tosha в сообщении #869516 писал(а):

$\angle(BOC)=2\alpha$. Как из этого следует $\angle(OCB)=\frac{\pi}{2}-\alpha=\angle(OBC)$ -- понимаю.

Угол $OKC=\frac{\pi}{2}-\alpha$ по условию. Т.е. эти углы равны.

[Tosha]

TOTAL в сообщении #869519 писал(а):

Tosha в сообщении #869516 писал(а):

$\angle(BOC)=2\alpha$. Как из этого следует $\angle(OCB)=\frac{\pi}{2}-\alpha=\angle(OBC)$ -- понимаю.

Угол $OKC=\frac{\pi}{2}-\alpha$ по условию. Т.е. эти углы равны.

Ох, точно Спасибо!