Норма оператора вложения

[ewert]

g______d в сообщении #869365 писал(а):

По собственным функциям задачи Неймана

А какое отношение Нейман имеет к равномерной норме?

[g______d]

ewert в сообщении #869369 писал(а):

А какое отношение Нейман имеет к равномерной норме?

Чёрт. Я прочитал как $L_2$, прошу прощения.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #869370 писал(а):

Чёрт. Я прочитал как $L_2$, прошу прощения.

Пытался вспомнить, как определяется скалярное произведение в $C[0,1]$.
Думал уже совсем меня склероз одолел...

[ewert]

g______d в сообщении #869370 писал(а):

Я прочитал как $L_2$,

Ну если бы было $L_2$ -- тогда бы да, конечно, Нейман. Но тогда бы и раскладывать ничего не надо было бы.

-- Чт май 29, 2014 22:58:36 --

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #869374 писал(а):

Пытался вспомнить, как определяется скалярное произведение в $C[0,1]$.
Думал уже совсем меня склероз одолел...

Да ровно так же и определяется. Если, конечно, вдруг приспичит его там зачем-нибудь определить.

[nemnnn]

ewert в сообщении #869348 писал(а):

Ну тупо проварьируйте функционал $\int\limits_0^b\big(f^2(x)+{f'}^2(x)\big)dx$ при условии, что значения на концах фиксированы (пока что не важно, как именно, но -- фиксированы).

Не совсем понимаю, что вы имеете ввиду, расскажите по подробнее пожалуйста. Если брать маленькие и отрезок, то можно, например, апроксимировать прямой функцию, но не совсем понятно, что делать дальше. А на большом отрезке, даже с фиксированными концами, не знаю, что делать.

[ewert]

nemnnn в сообщении #869385 писал(а):

Не совсем понимаю, что вы имеете ввиду,

Имеется в виду, что

$$0=\delta\int\limits_0^b\big(f^2(x)+{f'}^2(x)\big)dx=2\int\limits_0^b\big(f(x)\cdot\delta f(x)+f'(x)\cdot\delta f'(x)\big)dx=2\int\limits_0^b\big(f(x)-f''(x)\big)\cdot\delta f(x)\,dx$$

(последний переход верен, т.к. $\delta f(x)$ обращается в ноль на обоих концах). А поскольку $f(x)-f''(x)$ ортогональна более-менее любому $\delta f(x)$ -- она равна нулю тождественно.

Это -- стандартно; и, боюсь, без этого -- никак.

[sup]

И все-таки на краю возникнут условия Неймана.
Соображение простое
$f(a) = \int \delta(x-a)f(x)dx = (g_a,f)$
где
$g_a - g''_a = \delta (x-a)$
и $g$ удовлетворяет условиям Неймана на краю.
Ну а теперь уже ясно, что
$||f||_C \leqslant ||f||_{W_2^1}\sup \limits_a ||g_a||_{W_2^1}$
Ну а дальше уже дело техники. Отмечу, что вместо $\sup \limits_a ||g_a||_{W_2^1}$ можно (и проще вычислять) использовать $\sup \limits_a ||g_a||_C$.