Норма оператора вложения

[nemnnn]

Помогите найти норму оператора вложения $J : W_{2}^{1} \to C$ на отрезке $[0, 1]$.
У меня получалось доказать, что оператор ограничен, но найти константу что-то не могу.

[Brukvalub]

Вопрос: как задается норма в $ W_{2}^{1} ?

[nemnnn]

$||f||_{w_{2}^{1}} = (\int_{0}^{1}|f(x)|^{2}dx + \int_{0}^{1}|f'(x)|^{2}dx)^{1/2}$
Это пространство Соболева.

[Brukvalub]

Хорошо. А как вы доказывали ограниченность оператора вложения?

[nemnnn]

Я оценил оператор $\max|f(x)| = |f(z) + \int_{z}^{x}f'(x)dx| \leqslant |f(z)| + \int_{0}^{1}|f'(x)|dx$ дальше интегрировал по $z$ правую и левую части и получал, что $\max|f(x)| \leqslant \int_{0}^{1}|f(x)dx| + \int_{0}^{1}|f'(x)|dx \leqslant (\int_{0}^{1}|f(x)|^{2}dx)^{1/2} + (\int_{0}^{1}|f'(x)|^{2}dx)^{1/2}$. Затем воспользовавшись соотношением $a^{1/2} + b^{1/2} \leqslant 2^{1/2}(a + b)^{1/2}$. Получил, что $|J| \leqslant 2^{1/2}$.
Вроде как, это правильно, и норма равняется $2^{1/2}$, но я не могу придумать ни функции, ни последовательности функций, на которых можно было бы это показать.

[Brukvalub]

Попробуйте оттолкнуться от того соображения, что для достижения нормы каждое из неравенств в оценке нормы должно превратиться в равенство.

[Dan B-Yallay]

nemnnn в сообщении #869224 писал(а):

Затем воспользовавшись соотношением $a^{1/2} + b^{1/2} \leqslant 2^{1/2}(a + b)^{1/2}$

Если это Минковский, то странное и в какую-то не ту сторону.

[nemnnn]

Dan B-Yallay в сообщении #869289 писал(а):

nemnnn в сообщении #869224 писал(а):

Затем воспользовавшись соотношением $a^{1/2} + b^{1/2} \leqslant 2^{1/2}(a + b)^{1/2}$

Если это Минковский, то странное и в какую-то не ту сторону.

Можно проверить, возводим правую и левую части в квадрат $a + 2(ab)^{1/2} + b \leqslant 2a + 2b$ все переносим в правую часть $0 \leqslant a -2(ab)^{1/2} + b$ т.е $0 \leqslant (a^{1/2} - b^{1/2})^{2}$

[ewert]

Brukvalub в сообщении #869284 писал(а):

Попробуйте оттолкнуться от того соображения, что для достижения нормы каждое из неравенств в оценке нормы должно превратиться в равенство.

Это вряд ли -- уж слишком оценки грубы.

Я бы предложил подойти с другого конца. Допустим, значения функции зафиксированы в нуле и в некоторой другой точке. На какой функции достигается минимум квадрата соболевской нормы по такому промежутку?...

[nemnnn]

Brukvalub в сообщении #869284 писал(а):

Попробуйте оттолкнуться от того соображения, что для достижения нормы каждое из неравенств в оценке нормы должно превратиться в равенство.

В Гельдере равенство, насколько я помню, достигается при линейной зависимости функций. Но мы там оцениваем произведение $f$ с единицей и ее производной $f'$ тоже с единицей(да и ни на константах, ни на линейных функциях норма не достигается). По поводу второго, там равенство при $a = b$, но с экспонентой я тоже ничего придумать не смог.

ewert в сообщении #869297 писал(а):

Я бы предложил подойти с другого конца. Допустим, значения функции зафиксированы в нуле и в некоторой другой точке. На какой функции достигается минимум квадрата соболевской нормы по такому промежутку?...

Что-то ничего в голову не приходит. По идеи такая функция, модуль которой должен иметь наименьшую площадь под графиком, при условии, что она будет как можно медленней расти или падать и иметь максимум отличный от 0.

[Dan B-Yallay]

Убрато.

[ewert]

nemnnn в сообщении #869313 писал(а):

Что-то ничего в голову не приходит.

Ну тупо проварьируйте функционал $\int\limits_0^b\big(f^2(x)+{f'}^2(x)\big)dx$ при условии, что значения на концах фиксированы (пока что не важно, как именно, но -- фиксированы).

[g______d]

Есть ещё вариант разложить в ряд Фурье по косинусам, воспользоваться тем, что они ортогональны в обоих пространствах и, следовательно, оператор вложения диагонализуется.

UPD: не то.

[ewert]

g______d в сообщении #869354 писал(а):

Есть ещё вариант разложить в ряд Фурье по косинусам, воспользоваться тем, что они ортогональны в обоих пространствах

По каким косинусам?... Косинусов много, да к тому же и ответ наверняка выражается через какие-то экспоненты (как выражается -- не знаю, доводить до конца лень).

[g______d]

ewert в сообщении #869361 писал(а):

По каким косинусам?

По собственным функциям задачи Неймана, $\cos(nx)$, $n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots$

ewert в сообщении #869361 писал(а):

доводить до конца лень

+1

UPD: не то.