Поля, подполя

[misha89]

Пусть $F -$ конечное поле и $F^*$ - его мультипликативная группа. Доказать, что $H\cup \{0\}$ для любой подгруппы $H$ группы $F^*$ будет подполем поля $F$ тогда и только тогда, когда порядок группы $F^*$ равен $1$ или простому числу вида $2^p-1$, где $p$ - простое число.

Влево доказал.

Нужно доказать вправо.
Рассмотрим мощности:
Пусть $|F| = p^n$, тогда $|F^*|=p^n-1.$
Если $|H| = a \Rightarrow (p^n-1) \vdots a$ (т.к. $F^*$ циклическая).
Кроме того, $F_{p^m}$ будет подполем для $F_{p^n}$, только если $m|n$.

Не могу сделать из этого никакого вывода, подскажите, пожалуйста.

[AV_77]

misha89 в сообщении #869340 писал(а):

Если $|H| = a \Rightarrow (p^n-1) \vdots a$ (т.к. $F^*$ циклическая).

При этом необходимо $a = p^m-1$.

[patzer2097]

misha89 в сообщении #869340 писал(а):

Доказать, что <...> порядок группы $F^*$ равен $1$ или простому числу вида $2^p-1$, где $p$ - простое число.

Пусть порядок $F^*$ равен $p^n-1$, Вам достаточно найти подгруппу $H$ в $F^*$, порядок которой НЕ имеет вида $p^m-1$.
Как Вы уже заметили, $F^*$ циклическая, поэтому $H$ существует для любого порядка $u|p^n-1$.
Осталось найти "плохое" $u$