Пусть

конечное поле и

- его мультипликативная группа. Доказать, что

для любой подгруппы

группы

будет подполем поля

тогда и только тогда, когда порядок группы

равен

или простому числу вида

, где

- простое число.
Влево доказал.
Нужно доказать вправо.
Рассмотрим мощности:
Пусть

, тогда

Если

(т.к.

циклическая).
Кроме того,

будет подполем для

, только если

.
Не могу сделать из этого никакого вывода, подскажите, пожалуйста.