Сходится ли последовательность основных функций?

[myjobisgop]

Пусть $\varphi_0 (x) \in D(\mathbb{R}) \setminus \{0\}$. Сходится ли к нулю в $D(\mathbb{R})$ последовательность функций $\varphi_n (x) = \frac{1}{2^n} \varphi_0 (nx)$ ?


Носитель $\operatorname{supp} \varphi_0$ в $\mathbb{R}$ есть некоторый отрезок $[a, b]$, а поскольку $nx$ сжимает в $n$ раз значения $x$, то $\operatorname{supp} \varphi_n = [\frac{a}{n}, \frac{b}{n}]$. Обозначим $K = [-\max\{|a|,|b|\}, \max\{|a|,|b|\}]$, тогда $\operatorname{supp} \varphi_n \subset K,\;\forall n \in \mathbb{N}$.

Теперь нужно проверить, что $\lim_{n \to \infty} p_{\alpha, K} (\varphi_n) = 0,\;\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+$, где $p_{\alpha, K}$ - счетная система полунорм

\left p_{\alpha, K} (\varphi) = \sup_{x \in K} |\varphi^{(\alpha)} (x)|,\;\alpha \in \mathbb{Z}_+.

Я думаю, что сходимости на $K$ по системе полунорм нету. То есть можно ли найти такую фукнцию $\varphi_0 \in D(\mathbb{R}) \setminus \{0\}$ и число $\alpha \in \mathbb{Z}_+$, чтобы $\lim_{n \to \infty} p_{\alpha, K} (\varphi_n) \ne 0$?

[ewert]

Так ведь каждая такая полунорма для любой фиксированной функции очевидным образом явно выражается через эн.

[myjobisgop]

$p_{\alpha, K} (\varphi_n) = \frac{n^{\alpha}}{2^n} \sup_{x \in K} |\varphi_0 ' (n x)|$. Верно?

[ewert]

myjobisgop в сообщении #869288 писал(а):

Верно?

Верно, хотя супремум выписан в довольно неудачном варианте (много лишнего, и это отвлекает). Ну так и что из этого следует?...

[myjobisgop]

Я немного ошибся в формуле для полунормы. Она должна быть такой

$p_{\alpha, K} (\varphi_n) = \frac{n^{\alpha}}{2^n} \sup_{x \in K} |\varphi_0 ^{(\alpha)} (n x)|$.

Множитель $\frac{n^{\alpha}}{2^n}$ сходится к нулю при всех $\alpha$, но боюсь супремум может помешать сходимости. Или нет?

[ewert]

myjobisgop в сообщении #869323 писал(а):

но боюсь супремум может помешать сходимости.

А вот тут Вас как раз и сбивает с толку именно то, что Вы запихнули в супремум чересчур много (на штрих вместо альфы я даже и внимания не обратил -- это непринципиально). И носитель приплели совсем не по делу с самого начала; какой с него прок. Уберите из супремума всё откровенно ненужное -- и тогда всё должно стать очевидным.

(и, кстати, зачем супремум, когда он откровенно максимум)

[myjobisgop]

ewert
Моя гипотеза, что супремум достигается в нуле.

[ewert]

myjobisgop в сообщении #869376 писал(а):

Моя гипотеза, что супремум достигается в нуле.

Хоть я и не люблю этого слова, но это точно чушь. Почему в нуле, а не, скажем, в семёрке?... И что самое главное: какая вообще разница, где именно он достигается?

[myjobisgop]

Вы хотите сказать, что $\max_{x \in K} |\varphi_0 ^{(\alpha)} (n x)|$ есть константа, не зависящая от $\alpha$ и $n$?

[ewert]

От альфы он, естественно, зависит, но нам это и не важно; а вот эн-то тут при чём?...

[myjobisgop]

Он не зависит от $n$, а засисит только от $\alpha$, причем он положительный для всех $\alpha$. Поэтому супремум можно вынести за знак предела. Ну а $\lim_{n \to \infty}\frac{n^{\alpha}}{2^n} = 0,\;\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+$. Значит $\varphi _n$ сходятся к нулю.

[ewert]

myjobisgop в сообщении #869395 писал(а):

причем он положительный для всех $\alpha$.

Вот опять Вы произносите совершенно никому не нужные слова. Ну да, положителен; кому это интересно-то?... (тем более что формально это, т.е. ненулёвость, пришлось бы ещё и доказывать, а вот это уж точно никому не нужно)

А так -- да, конечно.