Сходимость интеграла

[Enot2]

Исследовать на сходимость интеграл: $\int_0 ^1 \frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}$
По графикам видно, что $\frac{1}{x} < \frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}$, при $0 < x < 1$. А $\int_0^1\frac{1}{x}$ расходится => осталось док-ть, что $\frac{1}{x} < \frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}; x\ln^2(x^2+1)} < \arcsin(x^3+x^5) (0<x<1)$. Собственно, тут я и остановился

[Otta]

Эквивалентности используйте.

[Enot2]

Но если я не ошибаюсь, эквивалентности можно использовать только при $x \to 0$, а я хочу док-ть нер-во для $0<x<1$

[Otta]

Enot2 в сообщении #869030 писал(а):

а я хочу док-ть нер-во для $0<x<1$

Зачем Вам нужно именно неравенство?

-- 29.05.2014, 05:08 --

Enot2 в сообщении #869030 писал(а):

Но если я не ошибаюсь, эквивалентности можно использовать только при $x \to 0$

Ошибаетесь, но пока это не так важно.

[Enot2]

Otta в сообщении #869036 писал(а):

Зачем Вам нужно именно неравенство?

Ага, то есть использовать эквивалентности для $\frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)}$, при $x \to 0$?
Получается так: $\frac{\arcsin(x^3+x^5)}{x^2 \ln^2(x^2+1)} \sim \frac{x^5+x^3}{x^6} = \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$; $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}) = \infty$;
Я правильно понимаю, что нам нужно сравнить скорость приближения к бесконечности функций $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$? ПОлучается, что вторая медленнее приближается
Следует ли отсюда, что интеграл второй больше?

[ИСН]

Вы не упускаете из виду, что логарифм-то был тоже в квадрате?

[Enot2]

Исправил!

[ИСН]

Ну и потом, раз занялись эквивалентностями, то нет смысла писать вещи типа $x^{10}+x^{20}$; главная степень поглощает все остальные.

[Enot2]

А разве дробь $\frac{1}{x^3}$ не нужна для того, чтобы док-ть, что вторая приближается к $OY$ медленнее?

[ИСН]

Вам не надо, что она быстрее или медленнее. Вы едете на эквивалентностях. Попытка перейти от них к неравенствам подобна пересаживанию на ходу с одного велосипеда на другой, и грозит окончиться так же.

-- менее минуты назад --

Можно было с самого начала ехать на неравенствах. Но это другое.

[Enot2]

Так, окей.
Далее верно ли я понимаю, что нам нужен предел отношения, и он равен $1$?

[ИСН]

Отношения чего к чему? Вашей функции и эквивалентной ей, но более простой? В принципе да, но обычно этого вслух произносить нет нужды, ибо всё вмещается в ёмкий символ $\sim$.

[Enot2]

А, кажется нашел:
Пусть неотрицательные функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы по любому отрезку $[a+\varepsilon;b], (0<\varepsilon <b-a)$ и пусть существует конечный $\lim_{x \to a+0} \frac{f(x)}{g(x)}=K\neq 0$ . Тогда несобственные интегралы $\int_a^b f(x)dx$ и $\int_a^b g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.
Ну и мы берем функцию $g(x)=\frac{1}{x}$ (расходится). Отношение нашей функции и $g(x)$равно единице. Значит и $\int_0^1 f(x)dx$ расходится

[ИСН]

Функцию Вы берёте не совсем эту, но всё остальное верно, и вывод тоже.

[Enot2]

А какую еще можно было взять? При других степенях получается либо равный нулю предел, либо равный бесконечности. Можно было бы константу пририсовать, но разница..