1. Конечномерные линейные пространства. Линейное отображение. Матрица линейного отображения. Алгебра линейных отображений. Теорема об изоморфизме линейных отображений и алгебры матриц.
2. Общее определение алгебры над полем. Базис алгебры, структурные константы для конечномерного случая. Уравнения для структурных констант. Теорема: каждая конечномерная алгебра изоморфна подалгебре конечной алгебры.
3. Тензорное произведение алгебр. Тензорное произведение матриц.
4. Линейное пространство всех полиномов от одной переменной над полем характеристики
. Операторы, возникающие из анализа и действующие на линейном пространстве полиномов, как функции. Соотношения между ними. Линейная независимость операторов
5. Алгебра Вейля, общие определения. Теорема о базисе. Разложение одного базиса через другой. Пара операторов, порождающая алгебру Вейля.
6. Формула Бернулли для оператора
. Формула для оператора сдвига.
7. Понижающий и повыщающий операторы. Теорема о единственности представления любого оператора
рядом.
8. Алгебра операторов порожденная линейными комбинациями и рядами понижающего оператора. Теорема о характеризации алгебры.
9. Базисные полиномы
. Теорема о существовании и единственности базисных полиномов для любых понижающих операторов. Примеры базисных полиномов.
10. Понятие производящих рядов. Теорема о нахождении разложения оператора
по паре
. Примеры собственных рядов.
11. Алгебра, порожденная операторами
и
.
12. Теорема о вложении в поле кольца с единицей и без делителей нуля (элементы поля - смежные классы пар
). Понятие эквивалентных пар, класса эквивалетности.
13. Понятие свёртки двух непрерывных функций. Кольцо функций с операцией свёртки. Свёртка: ассоциативная, дистрибутивная. Теорема Титчмарша (о том, что это кольцо без делителей нуля). Понятие поля кольца отношений.
Первые 4 вопроса вполне очевидные (разве что хотелось бы увидеть вывод соотношений между операторами и линейную независимость в четвёртом, но это мелочи).
.
5-12.
