Логарифмический неравенство

[JOPS-00]

Добрый вечер!
Пожалуйста чут чут намекните пожалуйста а то голова не работает.

$$ \dfrac{\log_{3}(x-3)\cdot\log_{4}(x-4)}{x-5} \leq \dfrac{\log_{4}(x-3)\cdot\log_{3}(x-4)}{x-6} $$

[provincialka]

Перейдите к единому основанию логарифмов. Например, возьмите 3. Как будут выглядеть числители?

[JOPS-00]

provincialka
Числителю надо перейти на единому логарифмов да?

[svv]

Сделайте везде одно основание (число, которое маленьким шрифтом пишется). Например,
$\log_{4}(x-4)=\dfrac{\log_{3}(x-4)}{...}$
Или, может быть,
$\log_{4}(x-4)=\log_{3}(x-4)}\cdot{...}$

[JOPS-00]

svv

$$x[\log_{3}(x-3)\cdot\log_{4}(x-4)-\log_{4}(x-3)\cdot\log_{3}(x-4)]\leq 6\log_{3}(x-3)\cdot\log_{4}(x-4)-5\log_{4}(x-3)\cdot\log_{3}(x-4)$$

далее как получается?

[svv]

Не спешите.
Когда Вы только-только перешли к одному основанию, что получилось?

[JOPS-00]

svv
Вот так вы имеет виду?

$$ \dfrac{\log_{3}(x-3)\cdot\log_{4}(x-4)}{\log_{3}3^{(x-5)}} \leq \dfrac{\log_{4}(x-3)\cdot\log_{3}(x-4)}{\log_{3}3^{(x-6)}} $$

[svv]

Нет.
Примените к $\log_4(x-4)$ и $\log_4(x-3)$ формулу
$\log_a b = \dfrac{\log_c b }{\log_c a}$,
где $c=3$.

[JOPS-00]

svv
$ \log_{4}(x-4)=\dfrac{\log_{3}(x-4)}{\log_{3}(x-3)} $

[svv]

Нет.
$a=4$, а что Вы написали вместо $a$ в знаменателе?

[JOPS-00]

svv Правильно решил?
$\dfrac{\dfrac{\log_{4}(x-3)}{\log_{4}3}\cdot \log_{4}(x-4)}{x-5} \leq \dfrac{\dfrac{\log_{4}(x-4)}{\log_{4}3}\cdot \log_{4}(x-3)}{x-6}$

$\dfrac{\log_{4}(2x-10)}{x-5}\leq \dfrac{\log_{4}(2x-10)}{x-6}$

$x\log_{4}(2x-10)-6\log_{4}(2x-10)\leq x\log_{4}(2x-10)-5\log_{4}(2x-10)$

$\log_{4}(2x-10)\geq 0$

$\log_{4}(2x-10)\geq \log_{4}1$

$x\geq 5.5$

[provincialka]

Откуда $2x-10$? Лучше перенести все на левую сторону, чтобы справа остался 0.

[ratay]

Не совсем. Верхняя строка верно, дальше не совсем
понятно. Во-первых, правая и левая часть определены
при Х больше 4 (лень мне возиться с [math]). Во-вторых,
при этом условии логарифмические сомножители можно
сократить. Получившиеся правая и левая часть не
определены в точках Х=5 и Х=6. Три открытых интервала: от 4 до 5, от 5 до 6, от 6 до бесконечности
рассмотрите отдельно. Для наглядности можно
изобразить правую и левую часть графически.
В интервалах Х от 4 до 5 и от 6 до бесконечности
неравенство выполняется.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

ratay, предупреждение за неиспользование $\TeX$ при наборе формул.

[JOPS-00]

provincialka
ratay
$\dfrac{\log_{4}(x-3)\cdot\log_{4}(x-4)}{(x-5)\log_{4}3} \leq \dfrac{\log_{4}(x-4)\cdot\log_{4}(x-3)}{(x-6)\log_{4}3}$

далее можно так сделать $ \log_{4}(x-3)\cdot\log_{4}(x-4)=\log_{4}[(x-3)+(x-4)]$ или нет?