Группа Галуа полинома

[misha89]

Найти группу Галуа над полем $\mathbb{Q}$ полинома $x^3-2$.

Корни над полем $\mathbb{C}$ будут
$x_1 = 2^{\frac{1}{3}};$
$x_2 = \frac{2^{\frac{1}{3}}}{2}(-1 +i 3^{\frac{1}{2}});$
$x_3 = \frac{2^{\frac{1}{3}}}{2}(-1 -i 3^{\frac{1}{2}}).$

Поле разложения $\mathbb{Q}[x_1, x_2, x_3].$
По теореме Виета $x_1x_2x_3 = 2, x_1+x_2+x_3 = 0.$

И, я так понимаю, раз $x_2, x_3$ комплексные корни, то не обязательно их оба присоединять, достаточно один. Верно?

Вообще, если присоединить к исходному полю только $x_1$, то это не влечет за собой другие два. Поэтому необходимо добавить $3^{\frac{1}{2}}.$ Нет смысла добавлять второй/третий корень целиком, т.к. там повторяется первый корень.
Верно?

Поле примет вид Поле разложения $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{3}}, 3^{\frac{1}{2}}].$

Далее, степень расширения - это число элементов базиса векторного пространства.
Степень нашего расширения - 6.

Произвольный элемент из $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{3}}, 3^{\frac{1}{2}}]$ можно записать в виде:

$$ a = a_0 + a_1\cdot 2^{\frac{1}{3}}+ a_2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + b_0 + b_1 3^{\frac{1}{2}} + b_2\cdot 3, a_i, b_i \in \mathbb{Q}.$$

Группа Галуа поля $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{3}}, 3^{\frac{1}{2}}]$ переводит корни полинома нашего в корни этого же полинома.

Отображения $\sigma(2^{\frac{1}{3}}) = ?, \tau(3^{\frac{1}{2}}) = ?$.
Здесь мне надо задать такие отображения, чтобы $\sigma^3 = \tau^2 = ?$ было тождественно и чему равно?

Этими элементами и будет порождаться группа Галуа.

Подскажите пожалуйста, ответьте на все вопросы.

[nnosipov]

misha89 в сообщении #867362 писал(а):

Поле примет вид Поле разложения $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{3}}, 3^{\frac{1}{2}}].$

Неверно, поскольку это поле вещественно, а у многочлена есть комплексные корни. Вместо $3^{1/2}$ нужно присоединить что-то другое.

[misha89]

Просто у меня в учебнике есть пример для $x^4-2$ над полем $\mathbb{Q}$ и автор поле разложения задает $\mathbb{Q}[2^{\frac{1}{4}}, i].$

Почему тогда он мдобавляет мнимую единицу и строит группу Галуа, а в моем случае добавлять $3^{\frac{1}{2}}$ неверно?

[Sonic86]

Я не очень разбираюсь, но ведь поле разложения можно получить добавлением в $\mathbb{Q}$ всех корней многочлена? Вот добавьте все корни и выразите часть корней через другие - увидите разницу. Про невещественность поля Вам уже сказали.

misha89 в сообщении #867467 писал(а):

в моем случае добавлять $3^{\frac{1}{2}}$ неверно?

Ну выразите здесь Ваш $x_2$ в $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt{2})$. Не получается? Странно правда, почему бы это?

[misha89]

Sonic86, вы просто показали от противного, но ведь должно быть логическое объяснение не от противного.
Почему в книге так можно, а тут так нельзя.

Ну не суть.

Я взял корни вида $\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2$. С ними пока все ок.

[misha89]

Например, поле разложения $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega]$.

$\sigma: \sqrt[3]{2} \to \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2;$
$\tau: \omega \to \omega, \omega^2.$

$\tau(\omega) = \omega.$
$\tau^3 = \omega^3 = 1.$

$\sigma(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}\omega.$
Какое будет тождественное отображение от сигмы?

$\sigma^2 = \sqrt[3]{2}^2\omega^2 = \sqrt[3]{4}\omega^2? $ Почему?

[Sonic86]

misha89 в сообщении #868233 писал(а):

поле разложения $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega]$.

А почему скобки квадратные, если поле?
Кроме того, в чем глубокий смысл написания именно $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega]$, а не $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$?

misha89 в сообщении #868233 писал(а):

$\sigma: \sqrt[3]{2} \to \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2;$
$\tau: \omega \to \omega, \omega^2.$

Что такое вообще $\sigma$ и $\tau$, откуда они берутся?
Что вообще обозначает запись $\psi: x \to y$?

misha89 в сообщении #868233 писал(а):

$\sigma^2 = \sqrt[3]{2}^2\omega^2 = \sqrt[3]{4}\omega^2? $

Это некорректная запись. Как Вы думаете, почему?