Плотное множество

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #865571 писал(а):

покажите мне просто англоязычный текст в котором в значении "круг" употребляется disk

http://en.wikipedia.org/wiki/Disk_%28mathematics%29

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #865636 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Disk_%28mathematics%29

ewert в сообщении #865590 писал(а):

Я в предыдущем посте что-то говорил про тексты задач?...

ewert в сообщении #865571 писал(а):

покажите мне просто англоязычный текст в котором в значении "круг" употребляется disk

ewert в сообщении #865540 писал(а):

"circle" в обычном понимании -- это вообще-то как круг, так и окружность.

Тут кто-нибудь что-нибудь читает?...

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #865666 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #865636 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Disk_%28mathematics%29

ewert в сообщении #865590 писал(а):

Я в предыдущем посте что-то говорил про тексты задач?...

Вопрос disk-circle возник в связи с задачей по математике, поэтому смысел совсем далеко уходить от нее?
Если Вы НЕ говорили про задачи, то текст из Вики задачей не является и как раз подходит. А если все-таки говорили, то Brukvalub дал ссылку на задачи.

ewert в сообщении #865666 писал(а):

ewert в сообщении #865540 писал(а):

"circle" в обычном понимании -- это вообще-то как круг, так и окружность.

Тут кто-нибудь что-нибудь читает?...

Читают.
В конце концов, CD - компакт диск, FD -флоппи диск, HD -хард диск. Термина compact/floppy/hard circle не существует.

[bersarnur]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #865666 писал(а):

Тут кто-нибудь что-нибудь читает?...

Например, я читаю.

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #865756 писал(а):

Термина compact/floppy/hard circle не существует.

Вот именно. Ровно так же, как и не существует термина компакт-круг.

[bersarnur]

We divide the unit circle in $m$ arcs with equal lengths. In this unit circle we consider $m+1$ points of the following forms: $e^0, e^{2\pi i \theta},..., e^{2\pi i m\theta}$. These points will be different, since $\theta$ is irrational. Two points of them are belong to the same arc. Let the points $e^{2\pi i m_1\theta}$ and $e^{2\pi i m_2\theta}$ will belong to the same arc, where $0\leq m_1 \neq m_2\leq m$ . Then we have $|e^{2\pi i m_1\theta}-e^{2\pi i m_2\theta}|\leq \frac{2\pi}{m}$, $|e^{2\pi i (m_1-m_2)\theta}-1|\leq \frac{2\pi}{m}$. We define $m_0=|m_1-m_2|\neq 0$ . Then the last inequality has the following form:
$|e^{2\pi i m_0\theta}-1|\leq \frac{2\pi}{m}$.
We must prove that within the neighborhood $U$ of each point $z$ on the unit circle, there exists a point $e^{2\pi i n\theta}$ for some $n\in Z$ such that $e^{2\pi i n\theta}\in U$ .
Как доказать дальше?

[bersarnur]

Натолкните на мысль, пожалуйста.

[Cash]

Так а что Вам осталось непонятно? Приведите в порядок - что доказано, что надо найти. Совсем же ерунда осталась.

[ex-math]

Мне кажется, что эти углы и дуги сбивают ТС с толку.
Попробуйте переписать Ваше доказательство для отрезка $[0,1]$ и чисел $n\alpha$ с иррациональным $\alpha$. Для любого $\varepsilon$ Вы найдете такое $m$, что $0<\{\alpha m\}<\varepsilon$. Потом посмотрите, что будет с кратными этого $m$.

[bersarnur]

ex-math в сообщении #867932 писал(а):

Мне кажется, что эти углы и дуги сбивают ТС с толку.
Попробуйте переписать Ваше доказательство для отрезка $[0,1]$ и чисел $n\alpha$ с иррациональным $\alpha$. Для любого $\varepsilon$ Вы найдете такое $m$, что $0<\{\alpha m\}<\varepsilon$. Потом посмотрите, что будет с кратными этого $m$.

Не получается, к сожалению.

[ex-math]

bersarnur
Будем смотреть на дробную часть. Если у $\alpha m$ она не ноль, но притом маленькая, то у $k\alpha m$ с ростом $k$ она маленькими шажками пойдет увелииваться. Пройдет и мимо нужного Вам числа, и не дальше от него, чем на размер шажка.