Несуществующие простые числа

[Ktina]

Существует немало простых чисел, представимых в виде суммы нескольких последовательных квадратов.
Например,

$$61=5^2+6^2,\quad 29=2^2+3^2+4^2$$

Попробуйте доказать, что не существует простых чисел, представимых в виде суммы нескольких последовательных кубов.

[ИСН]

Сумма кубов от самого низа - это, так уж получилось, квадрат (неважно даже чей). Значит, сумма кубов от одного места до другого - это тупо разность каких-то квадратов. Опаньки!

[Ktina]

ИСН в сообщении #867427 писал(а):

... от самого низа ...

А как же отрицательные кубы?

[ИСН]

Они нам ничего интересного не добавляют, поэтому я их молча проигнорировал.

[Shadow]

Ktina в сообщении #867425 писал(а):

не существует простых чисел, представимых в виде суммы нескольких последовательных кубов.

Не только кубов - верно для для любой нечетной степени, больше 1.

[Ktina]

Shadow в сообщении #867490 писал(а):

Не только кубов - верно для для любой нечетной степени, больше 1.

Можно узнать, почему?

[Shadow]

Используем то, что при нечетном $n, \quad a+b \mid a^n+b^n$
Если число слагаемых четное, групируем их первое-последнее, второе-предпоследнее...
Если число слагаемых нечетное - групируем аналогично и используем то же самое свойство:

$(a-k)^n+\cdots+(a-1)^n+a^n+(a+1)^n+\cdots+(a+k)^n$

$a \mid (a-t)^n+(a+t)^n$

[Sender]

Можно ещё заметить, что простое число может быть представлено только суммой двух, трёх или шести последовательных квадратов.

[bot]

(вопрос ребром)

Существуют ли несуществующие простые числа?