2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несуществующие простые числа
Сообщение25.05.2014, 00:08 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существует немало простых чисел, представимых в виде суммы нескольких последовательных квадратов.
Например, $$61=5^2+6^2,\quad 29=2^2+3^2+4^2$$
Попробуйте доказать, что не существует простых чисел, представимых в виде суммы нескольких последовательных кубов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение25.05.2014, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Сумма кубов от самого низа - это, так уж получилось, квадрат (неважно даже чей). Значит, сумма кубов от одного места до другого - это тупо разность каких-то квадратов. Опаньки!

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение25.05.2014, 00:23 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН в сообщении #867427 писал(а):
... от самого низа ...

А как же отрицательные кубы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение25.05.2014, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Они нам ничего интересного не добавляют, поэтому я их молча проигнорировал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение25.05.2014, 11:12 


26/08/11
2110
Ktina в сообщении #867425 писал(а):
не существует простых чисел, представимых в виде суммы нескольких последовательных кубов.

Не только кубов - верно для для любой нечетной степени, больше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение25.05.2014, 23:00 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #867490 писал(а):
Не только кубов - верно для для любой нечетной степени, больше 1.

Можно узнать, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение26.05.2014, 07:41 


26/08/11
2110
Используем то, что при нечетном $n, \quad a+b \mid a^n+b^n$
Если число слагаемых четное, групируем их первое-последнее, второе-предпоследнее...
Если число слагаемых нечетное - групируем аналогично и используем то же самое свойство:

$(a-k)^n+\cdots+(a-1)^n+a^n+(a+1)^n+\cdots+(a+k)^n$

$a \mid (a-t)^n+(a+t)^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение26.05.2014, 10:41 


14/01/11
3066
Можно ещё заметить, что простое число может быть представлено только суммой двух, трёх или шести последовательных квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несуществующие простые числа
Сообщение05.06.2014, 04:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск

(вопрос ребром)

Существуют ли несуществующие простые числа?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group