Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?

[Rich]

Почему нельзя утверждать,что поскольку каждое из множеств, не может превосходить мощности другого,следовательно они равномощны?

[gris]

Так это и доказывается.

[Brukvalub]

А почему это очевидно? Ведь мощности - это не обычные числа, и безосновательно переносить на них свойства порядка, естественные для обычных чисел нельзя. В математике есть немало примеров, когда подобный перенос оказывается ошибочным. Например, числа можно при перемножении переставлять местами, а матрицы - нельзя.

[ewert]

Rich в сообщении #866962 писал(а):

Почему нельзя утверждать,что поскольку каждое из множеств, не может превосходить мощности другого,следовательно они равномощны?

Потому что сравнение мощностей не есть отношение порядка, если исходить только из определения. Т.е. в определении антисимметричность ни разу не заложена, её надо доказывать.

[Rich]

Понял.Спасибо.

[lena7]

Если мы рассмотрим не просто множества, а разные алгебраические структуры, то "аналоги" теоремы Кантора--Бернштейна тоже интуитивно могут показаться верными, но это не так, вообще говоря. А иногда так.

Под "аналогом" я понимаю следующее: пусть есть структуры $A$, $B$ и инъективные гомоморфизмы $A\to B$, $B\to A$; верно ли, что $A$ и $B$ изоморфны?

Например, для множеств и векторных пространств это верно, а для групп нет: пусть $A=\prod\limits_{i=0}^\infty\mathbb Z_4$, $B=\mathbb Z_2\times A$, они не изоморфны, но каждую можно вложить в другую.

[Rich]

Можете,пожалуйста, уточнить,что такое $A$, и какой гомоморфизм имеется ввиду?

[lena7]

Rich в сообщении #867315 писал(а):

Можете,пожалуйста, уточнить,что такое $A$, и какой гомоморфизм имеется ввиду?

Теорему Кантора--Бернштейна можно сформулировать так: пусть $A$, $B$ -- множества и пусть существуют инъективные отображения $A\to B$ и $B\to A$, тогда существует биекция между $A$ и $B$.

Если мы рассматриваем не множества, а алгебраические структуры (группы, кольца, векторные пространства и др.), то отображения меняются на гомоморфизмы (отображения, сохраняющие структуру). Если у вас ещё не было курса алгебры, то можете пока не забивать голову. Посыл моего сообщения был в том, что если наделить множество некоторой структурой, например, добавив арифметические операции между элементами, то "очевидное" утверждение, аналогичное теореме Кантора--Бернштейна, может стать неверным.

[Rich]

Спасибо,это я понял .

Цитата:

Например, для множеств и векторных пространств это верно, а для групп нет: пусть $A=\prod\limits_{i=0}^\infty\mathbb Z_4$, $B=\mathbb Z_2\times A$, они не изоморфны, но каждую можно вложить в другую.

Я просто хотел, чтобы Вы уточнили ,что из себя представляет группа $A$ в Вашем примере, и указали гомоморфизм явно,если это не сложно.

[lena7]

Rich в сообщении #867647 писал(а):

Я просто хотел, чтобы Вы уточнили ,что из себя представляет группа $A$ в Вашем примере, и указали гомоморфизм явно,если это не сложно.

Группа $A$ -- это множество (бесконечных) счетных последовательностей $(a_1,a_2,\ldots)$, где $a_i\in \mathbb Z_4$, сложение определяется покомпонентно: $(a_1,a_2,\ldots)+(b_1,b_2,\ldots)=(a_1+ b_1,a_2+ b_2,\ldots)$. Группа $B$ -- то же самое, только первый член из $\mathbb Z_2$, а не из $\mathbb Z_4$. Вложения:

$$\begin{array}{rl} A\to B:& (a_1,a_2,\ldots)\mapsto (0,a_1,a_2,\ldots),\\ B\to A:& (a_1,a_2,\ldots)\mapsto (2a_1,a_2,\ldots). \end{array}$$

[Rich]

Спасибо,из $B$ в $A$ можно было сделать тождественное вложение?

[lena7]

Что такое тождественное вложение?

[Rich]

$B\to A:& (a_1,a_2,\ldots)\mapsto (a_1,a_2,\ldots).$

[lena7]

Нет, потому что $a_1\notin \mathbb Z_4$. Каждое $a_i$ -- это подмножество целых чисел (класс вычетов по какому-то модулю). Запись $2a_i$ означает, что каждый элемент множества $a_i$ умножается на $2$.

[Rich]

lena7 в сообщении #867956 писал(а):

Нет, потому что $a_1\notin \mathbb Z_4$. Каждое $a_i$ -- это подмножество целых чисел (класс вычетов по какому-то модулю). Запись $2a_i$ означает, что каждый элемент множества $a_i$ умножается на $2$.

Так $a_i$ это элемент или подмножество? Почему тогда Вы используете обозначение $\in$,а не $\subset$. Если подмножество каким образом умножение на 2 делает его элементом другого множества?Почему не умножив на два мы не можем утверждать,что оно уже лежит в множестве,которое больше?