2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение23.05.2014, 15:44 
Почему нельзя утверждать,что поскольку каждое из множеств, не может превосходить мощности другого,следовательно они равномощны?

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение23.05.2014, 15:48 
Аватара пользователя
Так это и доказывается.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение23.05.2014, 15:49 
Аватара пользователя
А почему это очевидно? Ведь мощности - это не обычные числа, и безосновательно переносить на них свойства порядка, естественные для обычных чисел нельзя. В математике есть немало примеров, когда подобный перенос оказывается ошибочным. Например, числа можно при перемножении переставлять местами, а матрицы - нельзя.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение23.05.2014, 15:52 
Rich в сообщении #866962 писал(а):
Почему нельзя утверждать,что поскольку каждое из множеств, не может превосходить мощности другого,следовательно они равномощны?

Потому что сравнение мощностей не есть отношение порядка, если исходить только из определения. Т.е. в определении антисимметричность ни разу не заложена, её надо доказывать.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение23.05.2014, 15:53 
Понял.Спасибо.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение23.05.2014, 18:09 
Если мы рассмотрим не просто множества, а разные алгебраические структуры, то "аналоги" теоремы Кантора--Бернштейна тоже интуитивно могут показаться верными, но это не так, вообще говоря. А иногда так.

Под "аналогом" я понимаю следующее: пусть есть структуры $A$, $B$ и инъективные гомоморфизмы $A\to B$, $B\to A$; верно ли, что $A$ и $B$ изоморфны?

Например, для множеств и векторных пространств это верно, а для групп нет: пусть $A=\prod\limits_{i=0}^\infty\mathbb Z_4$, $B=\mathbb Z_2\times A$, они не изоморфны, но каждую можно вложить в другую.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение24.05.2014, 17:21 
Можете,пожалуйста, уточнить,что такое $A$, и какой гомоморфизм имеется ввиду?

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение24.05.2014, 18:00 
Rich в сообщении #867315 писал(а):
Можете,пожалуйста, уточнить,что такое $A$, и какой гомоморфизм имеется ввиду?

Теорему Кантора--Бернштейна можно сформулировать так: пусть $A$, $B$ -- множества и пусть существуют инъективные отображения $A\to B$ и $B\to A$, тогда существует биекция между $A$ и $B$.

Если мы рассматриваем не множества, а алгебраические структуры (группы, кольца, векторные пространства и др.), то отображения меняются на гомоморфизмы (отображения, сохраняющие структуру). Если у вас ещё не было курса алгебры, то можете пока не забивать голову. Посыл моего сообщения был в том, что если наделить множество некоторой структурой, например, добавив арифметические операции между элементами, то "очевидное" утверждение, аналогичное теореме Кантора--Бернштейна, может стать неверным.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение25.05.2014, 18:02 
Спасибо,это я понял :D .

Цитата:
Например, для множеств и векторных пространств это верно, а для групп нет: пусть $A=\prod\limits_{i=0}^\infty\mathbb Z_4$, $B=\mathbb Z_2\times A$, они не изоморфны, но каждую можно вложить в другую.


Я просто хотел, чтобы Вы уточнили ,что из себя представляет группа $A$ в Вашем примере, и указали гомоморфизм явно,если это не сложно.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение25.05.2014, 18:35 
Rich в сообщении #867647 писал(а):
Я просто хотел, чтобы Вы уточнили ,что из себя представляет группа $A$ в Вашем примере, и указали гомоморфизм явно,если это не сложно.

Группа $A$ -- это множество (бесконечных) счетных последовательностей $(a_1,a_2,\ldots)$, где $a_i\in \mathbb Z_4$, сложение определяется покомпонентно: $(a_1,a_2,\ldots)+(b_1,b_2,\ldots)=(a_1+ b_1,a_2+ b_2,\ldots)$. Группа $B$ -- то же самое, только первый член из $\mathbb Z_2$, а не из $\mathbb Z_4$. Вложения:
$$\begin{array}{rl}
A\to B:& (a_1,a_2,\ldots)\mapsto (0,a_1,a_2,\ldots),\\
B\to A:& (a_1,a_2,\ldots)\mapsto (2a_1,a_2,\ldots).
\end{array}$$

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение25.05.2014, 19:36 
Спасибо,из $B$ в $A$ можно было сделать тождественное вложение?

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение25.05.2014, 20:30 
Что такое тождественное вложение?

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение26.05.2014, 11:39 
$B\to A:& (a_1,a_2,\ldots)\mapsto (a_1,a_2,\ldots).$

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение26.05.2014, 11:57 
Нет, потому что $a_1\notin \mathbb Z_4$. Каждое $a_i$ -- это подмножество целых чисел (класс вычетов по какому-то модулю). Запись $2a_i$ означает, что каждый элемент множества $a_i$ умножается на $2$.

 
 
 
 Re: Почему нужно доказывать Теорему Кантора-Бернштейна?
Сообщение26.05.2014, 17:22 
lena7 в сообщении #867956 писал(а):
Нет, потому что $a_1\notin \mathbb Z_4$. Каждое $a_i$ -- это подмножество целых чисел (класс вычетов по какому-то модулю). Запись $2a_i$ означает, что каждый элемент множества $a_i$ умножается на $2$.


Так $a_i$ это элемент или подмножество? Почему тогда Вы используете обозначение $\in$,а не $\subset$. Если подмножество каким образом умножение на 2 делает его элементом другого множества?Почему не умножив на два мы не можем утверждать,что оно уже лежит в множестве,которое больше?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group