О размерностях физических величин

[Munin]

Mega Sirius12 в сообщении #503838 писал(а):

значит сама проверка размерности абсолютно теряет смысл

Не абсолютно, а в редких специально оговорённых случаях.

Mega Sirius12 в сообщении #503838 писал(а):

идею понял, а под логарифмом почему должны безразмерные величины быть?

А вообще под любым знаком функции должны безразмерные величины быть. Потому что функция вычисляется от числа, а не от размерной величины. Делается это так: под знаком функции величина лишается размерности, путём умножения на подходящий размерный коэффициент (иногда его надо специально подыскать, например, для потенциала - заменить $r$ на $r/r_0,$ где $r_0$ - расстояние, на котором потенциал принимается равным нулю). Потом от этого числа берётся функция. И снаружи опять навешивается размерность, другим коэффициентом, подходящим уже под то, что нужно снаружи.

Классический пример: $A=A_0\cos(\omega t)=A_0\cos(2\pi t/T).$ Все перечисленные детали видны?

Mega Sirius12 в сообщении #503838 писал(а):

Да и вообще все размерности условны(в Тейлоре-Уийлере время вообще в метрах измеряется)они не совсем физичны, так сказать

Доля правды в этом есть. Смысл размерностей "человеческий": помогать человеку контролировать, что он там насчитал в формуле, и не напортачил ли. Отсюда, разные системы могут давать одинаковые или разные размерности для разных величин. Чем ближе к технике и примитивным расчётам по формулам и таблицам, тем больше разных размерностей вводится, и наоборот, чем дальше в теорию, тем размерностей меньше. В первом случае часто "размерными" считаются такие единицы, как угловой градус, мм/км, децибел. Во втором - электрическая ёмкость, оказывается, измеряется в сантиметрах, приравниваются к единице скорость света, постоянная Планка, гравитационная постоянная. Зато возникают новые правила, уже не укладывающиеся в схему физических размерностей: порядок малости величины, ранг тензора, природа и положение индексов... Об этой "человечности" стоит помнить, и ею стоит пользоваться. Если вдруг вам почему-то выгодно различать две величины и не смешивать их, сделайте их разной размерности, и получите средство самоконтроля.

[Mega Sirius12]

Цитата:

Не абсолютно, а в редких специально оговорённых случаях.

вот оно как

Цитата:

А вообще под любым знаком функции должны безразмерные величины быть. Потому что функция вычисляется от числа, а не от размерной величины. Делается это так: под знаком функции величина лишается размерности, путём умножения на подходящий размерный коэффициент (иногда его надо специально подыскать, например, для потенциала - заменить $r$ на $r/r_0,$ где $r_0$ - расстояние, на котором потенциал принимается равным нулю). Потом от этого числа берётся функция. И снаружи опять навешивается размерность, другим коэффициентом, подходящим уже под то, что нужно снаружи.

понятно

Цитата:

Классический пример: $A=A_0\cos(\omega t)=A_0\cos(2\pi t/T).$ Все перечисленные детали видны?

угу

Цитата:

Доля правды в этом есть. Смысл размерностей "человеческий": помогать человеку контролировать, что он там насчитал в формуле, и не напортачил ли. Отсюда, разные системы могут давать одинаковые или разные размерности для разных величин. Чем ближе к технике и примитивным расчётам по формулам и таблицам, тем больше разных размерностей вводится, и наоборот, чем дальше в теорию, тем размерностей меньше. В первом случае часто "размерными" считаются такие единицы, как угловой градус, мм/км, децибел. Во втором - электрическая ёмкость, оказывается, измеряется в сантиметрах, приравниваются к единице скорость света, постоянная Планка, гравитационная постоянная. Зато возникают новые правила, уже не укладывающиеся в схему физических размерностей: порядок малости величины, ранг тензора, природа и положение индексов... Об этой "человечности" стоит помнить, и ею стоит пользоваться. Если вдруг вам почему-то выгодно различать две величины и не смешивать их, сделайте их разной размерности, и получите средство самоконтроля.

буду знать
Спасибо

[obar]

Munin в сообщении #503711 писал(а):

В какой системе единиц потенциал и заряд имеют одинаковые размерности? Подите опросите знакомых физиков...

В двумерии кулоновская сила равна (в СГС)

$$ F=\frac{q_1q_2}{r}\,. $$

Такое выражение формально следует из уравнений Максвелла, записанных для двумерия (т.е. из теоремы Гаусса). Из него видно, что заряд и потенциал одной размерности.

[Munin]

obar
Спасибо.

[leha96]

Munin в сообщении #503888 писал(а):

А вообще под любым знаком функции должны безразмерные величины быть. Потому что функция вычисляется от числа, а не от размерной величины. Делается это так: под знаком функции величина лишается размерности, путём умножения на подходящий размерный коэффициент (иногда его надо специально подыскать, например, для потенциала - заменить $r$ на $r/r_0,$ где $r_0$ - расстояние, на котором потенциал принимается равным нулю). Потом от этого числа берётся функция. И снаружи опять навешивается размерность, другим коэффициентом, подходящим уже под то, что нужно снаружи.

Классический пример: $A=A_0\cos(\omega t)=A_0\cos(2\pi t/T).$ Все перечисленные детали видны?

Столкнулся с подобным примером при определении кепстра мощности:

$$ C_s (q) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \ln { \left| \widehat{S} (\omega) \right|^{2} e^{i \omega t} \, \mathrm{d} \omega } $$

Никак не пойму смысла этого выражения: логарифм берется от модуля спектра сигнала. Но модуль спектра сигнала -- это размерная величина, измеряется в Вольт/Герц. Если просто "откинуть" размерность, то это теряет всякий физический смысл, ведь в таком случае $ 1000 \, \text{В/Гц} > 1 \, \text {кВ/Гц}$, так как $1000>1$! Если считать логарифм безразмерным в вышеуказанной формуле, то в чем же тогда измеряется кепстр мощности? В Герцах? Ерунда какая-то получается... Помогите, пожалуйста, разобраться.

Простите, что поднимаю тему.

[arseniiv]

А вы уверены, что $\hat S(\omega)$ размерна? (Может, напишете здесь, как она там определяется?) Или в формуле ошибка и там должно было быть, скажем, деление на какую-нибудь $\hat S(\omega_0)$ с дополнительной зависимостью $C_s(q)$ от этой омеги.

[leha96]

arseniiv в сообщении #867560 писал(а):

А вы уверены, что $\hat S(\omega)$ размерна? (Может, напишете здесь, как она там определяется?) Или в формуле ошибка и там должно было быть, скажем, деление на какую-нибудь $\hat S(\omega_0)$ с дополнительной зависимостью $C_s(q)$ от этой омеги.

$\hat S(\omega)$ - это спектральная функция, или попросту спектр сигнала. Определить ее можно с помощью Фурье-преобразования:

$$\hat S (\omega) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} s (t) e^{-i \omega t} \, \mathrm{d} t $$

Видно, что размерность спектра -- это Вольт/Герц.
В формуле ошибки нет, это определение, дается в самом начале, причем не только в одной книжке. Я просто не могу понять ее, понять ее физический смысл.

[DimaM]

leha96 в сообщении #867565 писал(а):

Видно, что размерность спектра -- это Вольт/Герц.

Не видно. Подынтегральная функция вполне может быть нормирована.

[leha96]

DimaM в сообщении #867566 писал(а):

leha96 в сообщении #867565 писал(а):

Видно, что размерность спектра -- это Вольт/Герц.

Не видно. Подынтегральная функция вполне может быть нормирована.

Вы делу не помогаете, речь идет о физическом смысле выражения. Полагается, что $s(t)$ -- это реальный сигнал, измеряется в Вольтах.

[DimaM]

leha96 в сообщении #867568 писал(а):

Полагается, что $s(t)$ -- это реальный сигнал, измеряется в Вольтах.

Кем полагается?
Если можно, выложите страницу книжки или дайте на нее ссылку, чтоб в испорченный телефон не играть.

[leha96]

DimaM в сообщении #867571 писал(а):

leha96 в сообщении #867568 писал(а):

Полагается, что $s(t)$ -- это реальный сигнал, измеряется в Вольтах.

Кем полагается?
Если можно, выложите страницу книжки или дайте на нее ссылку, чтоб в испорченный телефон не играть.

Простите, страницу не могу выложить. Определение дается в книге:
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы., 1986., 477-я страница.

[Pphantom]

leha96 в сообщении #867568 писал(а):

Полагается, что $s(t)$ -- это реальный сигнал,

Это верно.

leha96 в сообщении #867568 писал(а):

измеряется в Вольтах.

А вот это ниоткуда не следует.

Что касается определения "кепстра мощности", то что-то я не припомню там логарифма...

[DimaM]

leha96 в сообщении #867574 писал(а):

Определение дается в книге:
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы., 1986., 477-я страница.

Судя по тексту, неявно подразумевается некоторая нормировка. Со всеми величинами автор обращается, как с безразмерными.

[leha96]

DimaM в сообщении #867580 писал(а):

leha96 в сообщении #867574 писал(а):

Определение дается в книге:
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы., 1986., 477-я страница.

Судя по тексту, неявно подразумевается некоторая нормировка. Со всеми величинами автор обращается, как с безразмерными.

Это понятно, но у меня стоит задача применить это к реальному сигналу, с заданными характеристиками. Разумеется, ничего не получается...

[arseniiv]

Зафиксируйте единицы измерения, значит, и откиньте (это полностью аналогично делению в нужных местах для получения безразмерных величин), и все значения приводите перед использованием к этим единицам: если вольты и герцы, то никаких киловольтов и мегагерц. (Надо учесть, что если вы выберете килогерцы, придётся вместе с этим заменить секунды на миллисекунды.)

-- Вс май 25, 2014 19:30:28 --

(Оффтоп)

У составителей этой книги оригинальное чувство юмора: