Признак сходимости ряда

[Мироника]

День добрый! Подскажите, пожалуйста, какой признак надо использовать для исследования на сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty (2^{1/n}-1)^4$
Мне кажется сравнения, но не знаю с каким рядом сравнить

[Brukvalub]

С рядом

\[\sum {\frac{c}{{n^\alpha }}} \]

[Мироника]

А точнее можно? С обобщенным гармоническим пробовала, но видно не верно подбираю с и \alpha.
По какому правилу их выбирать?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

По какому правилу их выбирать?

Одного никак не могу понять, зачем изучать ряды, коли не знаешь элементарных разложений? Толку всё равно не будет....

\[a^x = 1 + x\ln a + o(x)\;,\;x \to 0\]

[Мироника]

Спасибо за возмущение. Наверно для того и учатся, чтобы знать. Разложение показательной функции в ряд Маклорена я знаю. Но как применить это к \sum {\frac{c}{{n^\alpha }}} я простите не поняла...

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

Но как применить это к \sum {\frac{c}{{n^\alpha }}} я простите не поняла...

Нашли, чем хвалиться . А Вы подумайте...

[Мироника]

Может так
\sum\limits_{n=1}^\infty (2^{1/n}-1)^4\approx \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{{1}} {{n}} \ln2)^4

[Brukvalub]

Идея верная, но в записи такого знака "двойная волна" я нигде раньше не встречал.

[Мироника]

А последний ряд сравнить с \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{{1}} {{n^4}} ) И получим, что сходится...

[Brukvalub]

Молодец!

[Мироника]

То есть можно и "=" поставить?

[Brukvalub]

Нет. Я бы не стал ставить знаков, а записал решение словами.

[Мироника]

Понятно. То есть просто "перейдем от исходного ряда к такому-то...". Спасибо за помощь А вы ругались