Ложная бесконечность в математике

[Апис]

Уважаемый Brukvalub (n) неограничено возрастает.
Я допустил ошибку, а правки нет так что:

\[ y(p) = \frac{{(p - 1)\# }} {{p\# }} \cdot \ln (p^2 ) \]

Этой формулой я хочу проверить асимптотический закон распределения простых чисел

[Brukvalub]

Так Вы просто возьмите любой учебник по аналитической теории чисел и проверьте приведённое в нём доказательство. Рекомендую: Постников А.Г. — Введение в аналитическую теорию чисел Прахар К. П. — Распределение простых чисел Карацуба А.А. — Основы аналитической теории чисел Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. — Введение в теорию чисел

[Апис]

Отношение

\[ \frac{{\pi (x)}} {x} \]

можно рассматривать как среднюю плотность простых чисел на отрезке (1,х). Это понятие я взял из книги А.И.Бородина "Теория чисел" стр. 237

[Brukvalub]

Так я с этим и не спорю. Я предлагаю вам убедиться в правильности полученного математиками закона распределения простых чисел путём проверки доказательства этого закона, для чего выписал выше несколько ссылок на книги, в которых такое доказательство приведено.

[Апис]

Вы мне предлагаете проверить чужое доказательство, вот я и хочу проверить, но своим методом.

Добавлено спустя 1 час 42 минуты 4 секунды:

Но сначала некоторый итог. Начало темы, много слов - высмеяли. Потом попробовал совсем без слов, одни формулы - непоняли. Попробую ещё раз и не трогая бесконечность.
Теорема (Эйлера) При неограниченом возрастании действительного числа x>1 Предел отношения

\[ \frac{{\pi (x)}} {x} \]

равен нулю. А.И. Бородин "Теория чисел" стр.237

\[ \pi (x) = x \cdot m_p \]

Предел отношения

\[ \frac{{\pi (x)}} {x} = 0 \]

Предел отношения

\[ \frac{{x \cdot m_p }} {x} \ne 0 \]

Теорема неверна.

[Brukvalub]

Апис писал(а):

Теорема неверна.

Так ей и надо! Подумаешь, одной теоремой меньше стало. Никто по ней и не заплачет! Ведь ещё столько других теорем осталось. Об одном вас умоляю: не опровергайте хотя бы в ближайшее время теорем классического анализа, не лишайте меня куска хлеба, дайте до пенсии дотянуть, а уж там громите их что есть мочи. А пока, ну очень прошу, пощадите...

[Someone]

А что такое здесь $m_p$?

[PAV]

Как я понимаю, Апис утверждает, что $\pi(n)=n\cdot m_p$. Правда, правильнее тогда писать не $m_p$, а $m_p(n)$, поскольку эта величина безусловно зависит от $n$. Пока что ничего содержательного нет, мы всего лишь обозначили отношение $\frac{\pi(n)}{n}$ через $m_p(n)$. Теперь осталось исследовать то, что математики жаргонно называют "поведение на бесконечности". Теорема Эйлера утверждает, что $m_p(n)\to0$ при $n\to\infty$. Апис с этим не согласен. Я верно изложил?

Учитывая возраст теоремы Эйлера, учитывая то, что ее излагали в массе книг, читали целым поколениям студентов (а те в свою очередь на экзаменах излагали доказательство преподавателям, а математические студенты некоторые попадаются очень въедливые и не упустят возможности прицепиться к любому сомнительному моменту в рассуждениях) - пока что справедливость теоремы Эйлера выглядит сильно более надежной, чем справедливость возражения Апис'а, на которого нет ни одной положительной профессиональной рецензии...

[Апис]

Если предел отношения

\[ \frac{{\pi (x)}} {x} = 0 \]

тогда предел отношения

\[ \frac{x} {{\pi (x)}} = \infty \]

А это означает одно из двух или на числовой оси закончились простые числа, что невозможно их количество безгранично.
Или на числовой оси существует бесконечный интервал (отрезок) состоящий из одних составных чисел. Вы можете себе представить ограниченную бесконечность? Я нет. Теорема Эйлера не верна.
Вот это и есть один из примеров ложной бесконечности в математике.
Уважаемый Brukvalub вы думаете на пенсию можно будет жить.

[Brukvalub]

Апис писал(а):

Если предел отношения

\[ \frac{{\pi (x)}} {x} = 0 \]

тогда предел отношения

\[ \frac{x} {{\pi (x)}} = \infty \]

А это означает одно из двух или на числовой оси закончились простые числа, что невозможно их количество безгранично.
Или на числовой оси существует бесконечный интервал (отрезок) состоящий из одних составных чисел.

Или, с возрастанием длины интервала, доля простых чисел среди всех натуральных чисел этого интервала становится все меньше и меньше (оставаясь положительной).

Апис писал(а):

Уважаемый Brukvalub вы думаете на пенсию можно будет жить.

Почему только на пенсию? Я уже тренируюсь собирать по помойкам жестяные банки и бутылки.

[PAV]

Апис,

давайте для примера рассмотрим не простые числа, а числа, являющиеся полными квадратами. Обозначим количество таких чисел на множестве $\{1,2,\ldots,n\}$ через $q(n)$ (аналог $\pi(n)$).

Очевидно, что $q(n)=[\sqrt{n}]$, где квадратные скобки означают целую часть числа.

Справедлива оценка сверху:

$$ \frac{q(n)}{n}\le\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}. $$

Эта величина стремится к нулю при $n\to\infty$.

Таким образом, для квадратов стправедливо такое же утверждение, что и для простых: их плотность на числовой оси стремится к нулю с увеличением интервала.

Но отсюда совершенно не следует, будто бы квадраты в некоторый момент закончатся или что-нибудь в этом роде.

Вы делаете неправильные выводы из того верного утверждения, что

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n}=0. $$

Изучите все-таки определение предела.

[Апис]

Предел отношения

\[ \frac{{\pi (n)}} {n} = 0 \]

Предел отношения

\[ \frac{{n \cdot m_p }} {n} \ne 0 \]

Предел отношения

\[ \frac{n} {{\pi (n)}} = \infty \]

Предел отношения

\[ \frac{1} {{m_p }} \ne \infty \]

\[ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } [m_p \cdot \ln (n)] = 1 \hfill \\ n = p^2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } [m_p \cdot \ln (p^2 )] = 1 \hfill \\ y(p) = \frac{{(p - 1)\# }} {{p\# }} \cdot \ln (p^2 ) \hfill \\ \end{gathered} \]

Определить тенденцию изменения функции, если будет непрерывный рост от значения еденицы, у вас проблемы с асимптотическим законом.

[PAV]

Апис писал(а):

Предел отношения

\[ \frac{{n \cdot m_p }} {n} \ne 0 \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } [m_p \cdot \ln (n)] = 1 \]

Эти два выражения противоречат друг другу.

[Echo-Off]

Апис, вы, может, напишете, что такое $(p-1)\#$, $p\#$ и $m_p$?

[Апис]

Echo-Off, посмотрите пожалуста тему "Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами прост. чи" первое сообщение.
PAV. Я проверяю последнее выражение. В том сообщении две разные темы первые четыре формулы относятся к теореме Эйлера, последние три к асимптотическому закону.
Brukvalub прошу извинить меня, с этой пенсией чёрт меня дернул, слова как микробы, уже сколько зарекался не суесловить, так нет так и кортит поумничать.

Добавлено спустя 17 минут 54 секунды:

Уважаемый PAV забыл сказать последнее выражение

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } [m_p \cdot \ln (n)] = 1 \]

я проверяю, а так как в таком виде что-то сложно сказать, вот я и преобразовал и получил: Определить тенденцию изменения функции, если будет непрерывный рост от значения еденицы, у вас проблемы с асимптотическим законом.