Векторы

[fronnya]

У нас есть два вектора: полярный и аксиальный $\vec {a}$ и $\vec{b}$ соответственно, то их скалярное произведение будет псевдоскаляром. Сейчас я попытаюсь это доказать, проверьте пожалуйста, правильно ли я сейчас это докажу.

Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:

$$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$

Теперь запишем скалярное произведение этих же векторов, но в левой системе координат, так, как $\vec{a}$ у нас по условию полярный, то его компоненты, а тогда и сам конечный вектор $\vec {c}$ должен сменить знак:

$$(\vec{a} \vec{b})=-a_x b_x- a_y b_y- a_z b_z=-(a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z)=-\vec{c}$$

И раз уж вектор $\vec {c}$ поменял свой знак, то он по определению будет полярным, а само скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec {b}$- псевдоскаляр.
это верное доказательство?

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #867170 писал(а):

У нас есть два вектора: полярный и аксиальный $\vec {a}$ и $\vec{b}$ соответственно, то их скалярное произведение будет псевдоскаляром. Сейчас я попытаюсь это доказать, проверьте пожалуйста, правильно ли я сейчас это докажу.

Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:

$$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$

Теперь запишем скалярное произведение этих же векторов, но в левой системе координат, так, как $\vec{a}$ у нас по условию полярный, то его компоненты, а тогда и сам конечный вектор $\vec {c}$ должен сменить знак...

Где растут столь чудесные векторы, что при любой замене правой системы координат на левую их координаты всего лишь меняют знак?

[Munin]

fronnya в сообщении #867170 писал(а):

Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:

$$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$

Не получилось: в конце должен быть скаляр, а не вектор.

[мат-ламер]

А зачем всё это доказывается в виде вычислений в каком-то базисе? И так ясно, что если в скалярном произведении один из множителей сменим на противоположный, то изменится и знак скалярного произведения.

[fronnya]

Munin в сообщении #867206 писал(а):

fronnya в сообщении #867170 писал(а):

Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:

$$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$

Не получилось: в конце должен быть скаляр, а не вектор.

точно. скаляр. я об этом позабыл.

-- 25.05.2014, 10:28 --

мат-ламер в сообщении #867244 писал(а):

А зачем всё это доказывается в виде вычислений в каком-то базисе? И так ясно, что если в скалярном произведении один из множителей сменим на противоположный, то изменится и знак скалярного произведения.

зачем, зачем, а затем, что это задача такая из книжки Сивухина.