Вероятность и множества

[frankenstein]

Дано множество
$A = \{ 1, 2, ..., n \} $
Среди всех его подмножеств равновероятно выбирается $k$ его подмножеств.
Найдите вероятность того, $A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_k = \emptyset$

[Dave]

Берём таблицу $k \times n$. Строчки - подмножества, столбцы - элементы исходного множества. В ячейках числа: $1$ - принадлежит, $0$ - не принадлежит. Всего возможно $2^{kn}$ таблиц. Множества в совокупности не пересекаются - ни в одном столбце нет исключительно единиц. Имеем $2^k-1$ вариантов выбора каждого столбца. Значит всего $(2^k-1)^n$ вариантов, а вероятность соответственно равна

$$\left(\frac {2^k-1} {2^k} \right)^n=\left(1-\frac 1 {2^k} \right)^n.$$

Если нужно найти вероятность того, что множества не пересекаются попарно, то задача становится интереснее, ответ:

$$\left(\frac {k+1} {2^k} \right)^n.$$

[frankenstein]

Цитата:

Строчки - подмножества, столбцы - элементы исходного множества.

А можно здесь подробнее? Не очень понятно как будет таблица выглядить.

[Cash]

На пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца стоит бит, показывающий - принадлежит ли элемент $j$ исходного множества его $i$-му подмножеству.

[Mahorita]

Я тут возрожу старую тему :)
Почему таблиц $2^{kn}$? Разве множества выбираются с возвратом?

[TOTAL]

frankenstein в сообщении #833460 писал(а):

Дано множество
$A = \{ 1, 2, ..., n \} $
Среди всех его подмножеств равновероятно выбирается $k$ его подмножеств.
Найдите вероятность того, $A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_k = \emptyset$

При $k=2^n$ она равна единице.