2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вероятность и множества
Сообщение06.03.2014, 18:42 
Дано множество
$A = \{ 1, 2, ...,  n \} $
Среди всех его подмножеств равновероятно выбирается $k$ его подмножеств.
Найдите вероятность того, $A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_k = \emptyset$

 
 
 
 Re: Вероятность и множества
Сообщение06.03.2014, 20:10 
Аватара пользователя
Берём таблицу $k \times n$. Строчки - подмножества, столбцы - элементы исходного множества. В ячейках числа: $1$ - принадлежит, $0$ - не принадлежит. Всего возможно $2^{kn}$ таблиц. Множества в совокупности не пересекаются - ни в одном столбце нет исключительно единиц. Имеем $2^k-1$ вариантов выбора каждого столбца. Значит всего $(2^k-1)^n$ вариантов, а вероятность соответственно равна $$\left(\frac {2^k-1} {2^k} \right)^n=\left(1-\frac 1 {2^k} \right)^n.$$Если нужно найти вероятность того, что множества не пересекаются попарно, то задача становится интереснее, ответ: $$\left(\frac {k+1} {2^k} \right)^n.$$

 
 
 
 Re: Вероятность и множества
Сообщение06.03.2014, 21:19 
Цитата:
Строчки - подмножества, столбцы - элементы исходного множества.

А можно здесь подробнее? Не очень понятно как будет таблица выглядить.

 
 
 
 Re: Вероятность и множества
Сообщение07.03.2014, 12:44 
На пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца стоит бит, показывающий - принадлежит ли элемент $j$ исходного множества его $i$-му подмножеству.

 
 
 
 Re: Вероятность и множества
Сообщение23.05.2014, 10:03 
Аватара пользователя
Я тут возрожу старую тему :)
Почему таблиц $2^{kn}$? Разве множества выбираются с возвратом?

 
 
 
 Re: Вероятность и множества
Сообщение23.05.2014, 11:56 
Аватара пользователя
frankenstein в сообщении #833460 писал(а):
Дано множество
$A = \{ 1, 2, ...,  n \} $
Среди всех его подмножеств равновероятно выбирается $k$ его подмножеств.
Найдите вероятность того, $A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_k = \emptyset$

При $k=2^n$ она равна единице.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group