Вычислить интеграл.

[Someone]

hedgehogues в сообщении #866680 писал(а):

то, что при $x < 0 $, мы получаем комплексные значения интеграла.

А нафиг Вам отрицательные значения $x$? У Вас пределы интегрирования-то какие? От $0$ до $+\infty$:

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$

[hedgehogues]

Someone в сообщении #866685 писал(а):

hedgehogues в сообщении #866680 писал(а):

то, что при $x < 0 $, мы получаем комплексные значения интеграла.

А нафиг Вам отрицательные значения $x$? У Вас пределы интегрирования-то какие? От $0$ до $+\infty$:

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$

Да, все верно...
Точно.
Тогда отрицательные значения сами собой улетают.
Спасибо.

P.s. Коли здесь можно обойтись без $B$-функции, могли бы Вы сказать, как?

[Someone]

hedgehogues в сообщении #866694 писал(а):

Коли здесь можно обойтись без $B$-функции, могли бы Вы сказать, как?

А зачем? Вы же выразили через бета-функцию, дальше выражаете бета-функцию через гамма-функцию, пользуетесь свойствами гамма-функции и получаете результат.
Ну, можно ещё средствами ТФКП вычислить.

[hedgehogues]

Someone в сообщении #866707 писал(а):

hedgehogues в сообщении #866694 писал(а):

Коли здесь можно обойтись без $B$-функции, могли бы Вы сказать, как?

А зачем? Вы же выразили через бета-функцию, дальше выражаете бета-функцию через гамма-функцию, пользуетесь свойствами гамма-функции и получаете результат.
Ну, можно ещё средствами ТФКП вычислить.

Просто стало интересно, ибо кто-то выше говорил о том, что следует забить на сею функцию.
А вот ТФКП препод пользоваться запретил. Точнее сказал, чтобы все было над вещественным полем.

[provincialka]

Так и не поняла: вы решили пример? Я в оффтопе указала вам нужную замену. А "забить" предлагали временно, сначала ответить на другой вопрос.

[hedgehogues]

provincialka в сообщении #866767 писал(а):

Так и не поняла: вы решили пример? Я в оффтопе указала вам нужную замену. А "забить" предлагали временно, сначала ответить на другой вопрос.

Да, решили. При $х < 0 $ об интеграле не имеет смысла говорить, так как влезаем во мн-во, по которому не интегрируем.

А что даст Ваша замена?
Там не очень хорошо вроде бы получается.
И без $B$-функции, кажется, не получится.

[provincialka]

hedgehogues в сообщении #867710 писал(а):

И без $B$-функции, кажется, не получится.

Разумеется, это фактически она и есть. Пример такого типа стоит почти в самом начале темы "Эйлеровы интегралы". Например, в задачнике Демидовича пример 3851. Там ответ упрощается по свойству Гамма-функции.
"Моя" замена (вернее, стандартная в таком случае) именно к бета-функции и приводит. А вы как решали? Через вычеты? Какой у вас ответ?

[hedgehogues]

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

Нужно посчитать интеграл.

$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$

Посчитал через $B$-функцию. Но, к сожалению, после замены $x^6 = t$ получил печальку -- в ответе вылез комплексный корень, так как при подстановке обратной функции под дифференциал

$$x=\begin{cases} t^ \frac{1}{6},&\text{если $x \geqslant 0$;}\\ -t^ \frac{1}{6},&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

Далее интеграл распадается на два, в одном из которых в итоге появляется комплексный корень.
Собственно говоря, во втором случае трабла, когда $x < 0$.

Также пробовал посчитать по общей формуле, но она слишком громоздкая, а при дифференцировании не дает верного ответа почему-то =( .

Я решал заменой, которую указал здесь.

Ответ, к сожалению, не помню. Все сдал ужо.
Но что-то вроде $\frac{1}{6} В(\frac{a}{6}, \frac{a}{6} - 1)$

Но это не точно, говорю на память.

[provincialka]

Стандартная замена $1+x^6=1/t$. Дифференцируя, получаем, что $6x^5dx=-t^{-2}dt, t(0)=1, t(+\infty)=0$. Интеграл принимает вид

$$-\int\limits^{0}_1 \frac{x^{a-1}tdt}{6x^5t^2}dx =\frac16\int\limits_0^1\frac{x^{a-6}}{t}dt$$

Теперь можно окончательно избавиться от $x$, заменив его на $(1-\frac1t)^{1/6}$