15 чисел по кругу (по мотивам задачи А. В. Шаповалова)

[Ktina]

Расставьте по кругу числа 1, 2, 3, ..., 15 так, чтобы среди любых трёх чисел, записанных подряд, одно было равно полусумме двух других.

Ну, допустим,

1, 3, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 13, 15, 11, 7, 9, 5 (напоминаю, это по кругу, а не в строчку).

И что мне со всем этим счастьем делать? Доказывать единственность способа с точностью до "часовой стрелки"? Тогда милиционер получится Тогда получится нудный перебор. Может, лучше доказать, что количество таких чисел должно быть кратно трём? Например, у товарища Шаповалова стоит 9 вместо 15. Ах, да, кратно трём, да ещё и нечётно?

В общем, пожалуйста, помогите решить.

[A.Shapovalov]

Разумеется, я, как автор, не имел в виду доказательство единственности примера. То есть здесь интересных вопросов два 1) Доказать, что для всех кратных 3 (кроме 6) так расставить можно и 2) Доказать, что для некратных 3 расставить нельзя.

[svv]

Ktina в сообщении #866317 писал(а):

Доказывать единственность способа с точностью до "часовой стрелки"? Тогда милиционер получится Тогда получится нудный перебор.

Отнимем от всех чисел единичку, это не нарушит свойства полусуммы. Тогда $1$ превратится в $0$. Я подозревал, что вблизи нуля не так много вариантов. Оказалось — один. Вот как развивалась мысль:

$$\begin{matrix}&&&&&a&0&2a&\\ &&&&&a&0&2a&4a&\\ &&&&a/2&a&0&2a&4a&\\ &&&&b&2b&0&4b&8b&\\ &&&&1&2&0&4&8&\\ &&&3&1&2&0&4&8&\\ &&5&3&1&2&0&4&8&\\ 9|6&7&5&3&1&2&0&4&8&6|12\end{matrix}$$

А если каждое число $x$ на окружности заменить на $15-x$, это тоже не нарушит свойства, и тогда рассуждения, показанные в табличке, применимы к участку вокруг $15$ (которое стало нулем). Остается вернуться к исходным числам и сшить два куска, которые даже перекрываются.