2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 15 чисел по кругу (по мотивам задачи А. В. Шаповалова)
Сообщение22.05.2014, 01:21 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Расставьте по кругу числа 1, 2, 3, ..., 15 так, чтобы среди любых трёх чисел, записанных подряд, одно было равно полусумме двух других.

Ну, допустим,

1, 3, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 13, 15, 11, 7, 9, 5 (напоминаю, это по кругу, а не в строчку).

И что мне со всем этим счастьем делать? Доказывать единственность способа с точностью до "часовой стрелки"? Тогда милиционер получится Тогда получится нудный перебор. Может, лучше доказать, что количество таких чисел должно быть кратно трём? Например, у товарища Шаповалова стоит 9 вместо 15. Ах, да, кратно трём, да ещё и нечётно?

В общем, пожалуйста, помогите решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: 15 чисел по кругу (по мотивам задачи А. В. Шаповалова)
Сообщение22.05.2014, 11:44 


25/12/13
4
Разумеется, я, как автор, не имел в виду доказательство единственности примера. То есть здесь интересных вопросов два 1) Доказать, что для всех кратных 3 (кроме 6) так расставить можно и 2) Доказать, что для некратных 3 расставить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: 15 чисел по кругу (по мотивам задачи А. В. Шаповалова)
Сообщение22.05.2014, 12:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ktina в сообщении #866317 писал(а):
Доказывать единственность способа с точностью до "часовой стрелки"? Тогда милиционер получится Тогда получится нудный перебор.
Отнимем от всех чисел единичку, это не нарушит свойства полусуммы. Тогда $1$ превратится в $0$. Я подозревал, что вблизи нуля не так много вариантов. Оказалось — один. Вот как развивалась мысль:$$\begin{matrix}&&&&&a&0&2a&\\
&&&&&a&0&2a&4a&\\
&&&&a/2&a&0&2a&4a&\\
&&&&b&2b&0&4b&8b&\\
&&&&1&2&0&4&8&\\
&&&3&1&2&0&4&8&\\
&&5&3&1&2&0&4&8&\\
9|6&7&5&3&1&2&0&4&8&6|12\end{matrix}$$
А если каждое число $x$ на окружности заменить на $15-x$, это тоже не нарушит свойства, и тогда рассуждения, показанные в табличке, применимы к участку вокруг $15$ (которое стало нулем). Остается вернуться к исходным числам и сшить два куска, которые даже перекрываются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group