2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Магнитный момент
Сообщение21.05.2014, 15:16 


21/05/14
2
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, задачу.

Условие:
Однородный немагнитный прямой круговой усеченный конус высоты $h$ и радиусами оснований $a$ и $b$ ($a>b$), равномерно заряженный по объему, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси симметрии. Полный заряд конуса $q$. Определить магнитный момент конуса.

Решение:
Магнитный момент определяется по формуле:
$$\vec m=\frac{1}{2c}\int\limits_V (\vec r\times \vec j) \, dV$$
где $\vec j$ - плотность эл. тока, $c$ - константа.
Введем декартову систему координат, такую что ось $Z$ направлена вдоль оси вращения конуса, и цилиндрическую, совмещенную с декартовой. Тогда:

$\vec \omega=\omega\vec k$
$\vec r=\rho \cos{\varphi}\vec i+\rho \sin{\varphi}\vec j+z\vec k$

$\vec j=\rho_e \vec{\mathit{v}}=\rho_e (\vec \omega\times \vec r)$
где $\rho_e$ - плотность заряда, $\vec{\mathit{v}}$ - скорость точки конуса.
$$\vec m=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\vec \omega\cdot r^2-(\vec \omega\cdot \vec r) \vec r\, dV=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\omega r^2\vec k-\omega z \vec r)\, dV$$
$\rho_e=\frac{q}{V}=\frac{3q}{\pi h(b^2+ab+a^2)}$
Из соображений симметрии $m_x=m_y=0$.
$$m_z=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{x} (\omega (\rho^2+z^2)-\omega z^2)\rho  \, d\rho \, dz \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{c}\int\limits_{0}^{h}\, dz\int\limits_{0}^{x} \rho^3 \, d\rho  \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{4c}\int\limits_{0}^{h} x^4 \, dz$$
Препод говорит что пределы интегрирования неверны(неверно что от 0 до h)-как правильно я незнаю-не подскажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение21.05.2014, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А почему вопрос в "Физику", а не в "Математику"? :-) Проблема-то с неумением считать.

-- 21.05.2014 16:56:31 --

Что такое у вас вообще $x$ в пределе третьего интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение22.05.2014, 09:45 
Заслуженный участник


28/12/12
7920
Известно, что магнитный момент равномерно заряженного вращающегося тела пропорционален его моменту импульса (коэффициент пропорциональности $\dfrac{q}{2Mc}$). А последний равен произведению момента инерции на угловую скорость. Момент инерции конуса можно найти в справочниках (ну или посчитать самостоятельно, порезав на диски).

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение22.05.2014, 09:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Дык вот в "посчитать самостоятельно" и состоит задача, и в этом и проблема. Почитайте последнюю формулу, пределы интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение22.05.2014, 09:59 
Заслуженный участник


28/12/12
7920
Munin в сообщении #866370 писал(а):
Дык вот в "посчитать самостоятельно" и состоит задача, и в этом и проблема. Почитайте последнюю формулу, пределы интегрирования.
Я ж и предлагаю простой способ.
Кстати, магнитный момент можно так же по этапам: сперва для колечка, потом для диска, а потом уже для конуса. Интегралы будут везде одинарные, запутаться труднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитный момент
Сообщение22.05.2014, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DimaM в сообщении #866376 писал(а):
Я ж и предлагаю простой способ.

Ну да, самый простой способ - посмотреть в таблице. Но почему-то он "не считается", когда нужно решить задачу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group