Магнитный момент

[centr102]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, задачу.

Условие:
Однородный немагнитный прямой круговой усеченный конус высоты $h$ и радиусами оснований $a$ и $b$ ($a>b$), равномерно заряженный по объему, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси симметрии. Полный заряд конуса $q$. Определить магнитный момент конуса.

Решение:
Магнитный момент определяется по формуле:

$$\vec m=\frac{1}{2c}\int\limits_V (\vec r\times \vec j) \, dV$$

где $\vec j$ - плотность эл. тока, $c$ - константа.
Введем декартову систему координат, такую что ось $Z$ направлена вдоль оси вращения конуса, и цилиндрическую, совмещенную с декартовой. Тогда:

$\vec \omega=\omega\vec k$
$\vec r=\rho \cos{\varphi}\vec i+\rho \sin{\varphi}\vec j+z\vec k$

$\vec j=\rho_e \vec{\mathit{v}}=\rho_e (\vec \omega\times \vec r)$
где $\rho_e$ - плотность заряда, $\vec{\mathit{v}}$ - скорость точки конуса.

$$\vec m=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\vec \omega\cdot r^2-(\vec \omega\cdot \vec r) \vec r\, dV=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_V (\omega r^2\vec k-\omega z \vec r)\, dV$$

$\rho_e=\frac{q}{V}=\frac{3q}{\pi h(b^2+ab+a^2)}$
Из соображений симметрии $m_x=m_y=0$.

$$m_z=\frac{\rho_e}{2c}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{x} (\omega (\rho^2+z^2)-\omega z^2)\rho \, d\rho \, dz \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{c}\int\limits_{0}^{h}\, dz\int\limits_{0}^{x} \rho^3 \, d\rho \, d\varphi=\frac{\pi\omega\rho_e}{4c}\int\limits_{0}^{h} x^4 \, dz$$

Препод говорит что пределы интегрирования неверны(неверно что от 0 до h)-как правильно я незнаю-не подскажите?

[Munin]

А почему вопрос в "Физику", а не в "Математику"? :-) Проблема-то с неумением считать.

-- 21.05.2014 16:56:31 --

Что такое у вас вообще $x$ в пределе третьего интеграла?

[DimaM]

Известно, что магнитный момент равномерно заряженного вращающегося тела пропорционален его моменту импульса (коэффициент пропорциональности $\dfrac{q}{2Mc}$). А последний равен произведению момента инерции на угловую скорость. Момент инерции конуса можно найти в справочниках (ну или посчитать самостоятельно, порезав на диски).

[Munin]

Дык вот в "посчитать самостоятельно" и состоит задача, и в этом и проблема. Почитайте последнюю формулу, пределы интегрирования.

[DimaM]

Munin в сообщении #866370 писал(а):

Дык вот в "посчитать самостоятельно" и состоит задача, и в этом и проблема. Почитайте последнюю формулу, пределы интегрирования.

Я ж и предлагаю простой способ.
Кстати, магнитный момент можно так же по этапам: сперва для колечка, потом для диска, а потом уже для конуса. Интегралы будут везде одинарные, запутаться труднее.

[Munin]

DimaM в сообщении #866376 писал(а):

Я ж и предлагаю простой способ.

Ну да, самый простой способ - посмотреть в таблице. Но почему-то он "не считается", когда нужно решить задачу.