Функции

[SeverniyVeterok]

Привет.

дано-
$\mathbb{Z}$ - множество целых чисел , $\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}

Дано - $f : $\mathbb{Z}$*$\mathbb{Z}$ $\to $ $\mathbb{Z}$

Дана функция - $f ($x,$y) = 3$x + 2$y

помогите понять, что от меня хотят.

То есть к примеру если дана $f ($x) = $x^2 и $f : $\mathbb{R}$$\to $ $\mathbb{R}$.

То тут идёт парабола - где левая часть $\mathbb{R}$ область определения и правая часть ( $\mathbb{R}$ ) -область значения. $\mathbb{R}$*$\mathbb{R}$ - это пересечение оси абсцисс и оси ординат ..

Так вот в этом примере всё понятно, но как понять -
во первых странная функция и ещё более странное определение её- $f : $\mathbb{Z}$*$\mathbb{Z}$

[Brukvalub]

SeverniyVeterok писал(а):

помогите понять, что от меня хотят.

Так пока никто ничего не хочет. Ведь не сказано, что с этой функцией делать.

[Lion]

SeverniyVeterok писал(а):

помогите понять, что от меня хотят.

К сожалению, все телепаты в отпуске. Я не могу Вам помочь, поскольку Вы не сказали, в чем проблема.

Цитата:

То тут идёт парабола - где левая часть область определения и правая часть ( ) -область значения. * - это пересечение оси абсцисс и оси ординат ..

Это не пересечение, а прямое произведение. Т.е. это множество всевозможных пар вида $(x,y)$, где $x,y\in R$.

Пусть Вас не смущает такая область определения. Вспомните определение функции: это правило, по которому каждому объекту одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный объект другого множества (области значений). В качестве области определения у Вас задано множество всевозможных пар целых исел, а в качестве области значений --- множество целых чисел. Т.е. Вы берете пару целых чисел $(m,n)$ и ставите ей в соответствие целое число $k$ по правилу $k=3m+2n$. Вот и все.

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

SeverniyVeterok писал(а):

помогите понять, что от меня хотят.

Так пока никто ничего не хочет. Ведь не сказано, что с этой функцией делать.

Мне нужно первым делом доказать, что функция не инъективна и при этом сюрьективна.

Цитата:

качестве области определения у Вас задано множество всевозможных пар целых исел,

Почему пар? умножение $\mathbb{Z}$*$\mathbb{Z}$ - должно выглядеть как одна $\mathbb{Z}$ - абцисса , а другая $\mathbb{Z}$ - ордината- отсюда их пересечение образует пару?

Цитата:

Т.е. Вы берете пару целых чисел $(m,n)$ и ставите ей в соответствие целое число $k$ по правилу $k=3m+2n$. Вот и все.

Мне нужно доказать , что функция не инъективна и при этом сюрьективна.
тут не понятно просто, обычно я имел дело с функцией типа F(x) , а не F(x,y)

[Brukvalub]

SeverniyVeterok писал(а):

тут не понятно просто, обычно я имел дело с функцией типа F(x) , а не F(x,y)

Ну так привыкайте скорее.

SeverniyVeterok писал(а):

Мне нужно доказать , что функция не инъективна и при этом сюрьективна.

Понятия инъективности и сюръективности Вам знакомы?

[Taras]

Цитата:

Почему пар? умножение $\mathbb{Z}$*$\mathbb{Z}$ - должно выглядеть как одна $\mathbb{Z}$ - абцисса , а другая $\mathbb{Z}$ - ордината- отсюда их пересечение образует пару?

Именно пар.Где вы здесь пересечение увидели???
Это прямое(декартовое) произведение множеств
Подсказка: прочтите теорию.
То что это не иньекция-очевидно: постройте два елемента, которые перейдут в один и тот же елемент при отображении.
Сюрьективность: нужно знать следующий факт из теории чисел:
$(a,b)=d, ax+by=c$ имеет решение в целых числах (x,y,) тогда и только тогда: $d$ делит $c$

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

Понятия инъективности и сюръективности Вам знакомы?

Вроде ознакомлен

Цитата:

Это прямое(декартовое) произведение множеств Evil or Very Mad
Подсказка: прочтите теорию.

Прочёл)

Цитата:

То что это не иньекция-очевидно: постройте два елемента, которые перейдут в один и тот же елемент при отображении.

И таааак.
дано-
$\mathbb{Z}$ - множество целых чисел , $\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}

Дано - $f : $\mathbb{Z}$*$\mathbb{Z}$ $\to $ $\mathbb{Z}$

Дана функция - $f ($x,$y) = 3$x + 2$y

Функция не инъекция так как , так как при x=2 и y=3 $f ($x,$y) = 12 , но при этом если $x_1=3 и $y_1=2 $f ($x,$y) = 12 , то есть $f ($x,$y)=$f ($x_1,$y_1) , но $x_1 $\neq $ $x и $y_1$\neq $$y

функция сюрьективна так как , 3$x + 2$y = $k

$x = ($k-2$y)/3
$f(x,y) = ($k-2$y)/3 * 3 +2$y = $k

$y = ($k-3$x)/2
$f(x,y) = ($k-3$x)/2 * 2 + 3$x = $k


Правильно?

[Taras]

Вижу, что вы хотя-бы что-то делаете:
Не совсем:
Вы просто невнимательны: при второй подстановке выйдет 13.., а если взять $x=0,y=6$, то все получится.
Из сюрьекцией-тоже проблемка:

Цитата:

$x = (k-2y)/3$

, почему оно должно быть целым?
Примените теорему, которую я вам написал.
Удачи!

[SeverniyVeterok]

Taras писал(а):

Вижу, что вы хотя-бы что-то делаете:
Не совсем:
Вы просто невнимательны: при второй подстановке выйдет 13.., а если взять $x=0,y=6$, то все получится.

спасибо.
просто после работы слегка подустал:(


Из сюрьекцией-тоже проблемка:

Цитата:

Примените теорему, которую я вам написал.
Удачи!

Просто теорема странная- я что то такой в учебнике не видел..

3$x + 2$y = $k

пусть (a,b) = k , тогда $a=$a_1 *$k и $b=$b_1 *$k, тогда -

$a_1 *$k* $x + $b_1 *$k* $y = $c ,то есть
$k*( $a_1 *$x + $b_1 * $y) = $c
следовательно у уравнения имеется решение(пара целых чисел), когда $k/c

к примеру пусть $c=0 , тогда 3$x + 2$y = $0, тогда $x= -2y / 3 .
Так как x должен быть целым числом , то y=3t (t - произвольное целое число), значит x=-2t и решение3$x + 2$y = $0 , будет {-2t , 3t} , где t= $\mathbb{Z}$

Так?

[Brukvalub]

SeverniyVeterok писал(а):

к примеру пусть $c=0 , тогда 3$x + 2$y = $0, тогда $x= -2y / 3 .
Так как x должен быть целым числом , то y=3t (t - произвольное целое число), значит x=-2t и решение3$x + 2$y = $0 , будет {-2t , 3t} , где t= $\mathbb{Z}$

Так?

Так. Раз теорема, на которую Вам указывает
Taras, непонятна, Вы можете доказать сюръективность именно так, как Вы только что рассуждали. Только я бы стал искать у - это чуть проще.

[SeverniyVeterok]

Дана


g: P($\mathbb{R}) $\to $ P($\mathbb{R}) , где $\mathbb{R} - действительные числа и $\mathbb{Z}$ - множество целых чисел , $\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}

g($X) = $X $\oplus $ $\mathbb{Z}

Используя формулу - $a\oplus b$ , доказать что при $X\in P(R)$ , $g(g(X))=X.

Как подойти к решению?

g($X) = $X $\oplus $ $\mathbb{Z} мне должно говорить о том, что $X\in R$ и при этом $X\notin Z$ ?

[Brukvalub]

SeverniyVeterok писал(а):

g($X) = $X $\oplus $ $\mathbb{Z}

Мне неизвестно общепринятое употребление этого крестика в кружочке. Поясните, пожалуйста, что такой знак означает в Вашем тексте?

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

SeverniyVeterok писал(а):

g($X) = $X $\oplus $ $\mathbb{Z}

Мне неизвестно общепринятое употребление этого крестика в кружочке. Поясните, пожалуйста, что такой знак означает в Вашем тексте?

$A\oplus B$ = ($A-$B) $\cup $ ($B-$A)

[Brukvalub]

SeverniyVeterok писал(а):

g: P($\mathbb{R}) $\to $ P($\mathbb{R})

А что означает P($\mathbb{R}) $?

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

SeverniyVeterok писал(а):

g: P($\mathbb{R}) $\to $ P($\mathbb{R})

А что означает P($\mathbb{R}) $?

$P- это степень множества( булеан) $\mathbb{R}$ .