Изоморфизм групп, прямая сумма.

[misha89]

Добрый день.
Изоморфны ли группы $Z/6Z \oplus /36Z$ и $ Z/12Z \oplus Z/18Z$?

Хочу найти гомоморфизм. Никакие свойства прямых сумм, которые позволят все решить без гомоморфизм меня не интересуют.

Насколько я понял, элементы групп будут иметь вид $(x, y)$.

У нас есть 2 образующих элемента $(1,0)$ и $(0,1)$. Любая их комбинация дает нам оставшиеся элементы из группы.

$\varphi((1,0)) = (a, b), \cdots \varphi((5,0)) = (5a, 5b); \varphi((0,1)) = (c, d), \cdots \varphi((0,35)) = (17c, 17d); \varphi((1,1)) = \varphi((1,0)) + \varphi((0,1)) = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).$

То есть, надо как-то увеличить с $6$ на $12$ элементов и уменьшить с $36$ до $18$ элементов значения $(x, y) $ соответственно.

И это делается просто подбором?

[lena7]

misha89 в сообщении #864754 писал(а):

Никакие свойства прямых сумм, которые позволят все решить без гомоморфизм меня не интересуют.

Изоморфизм из китайской теоремы об остатках можно выписать явно в обе стороны.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

misha89
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда пост будет возвращён.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[misha89]

lena7, я хочу без всяких к.т.о., имея 2 группы, понять правильно ли я задаю гомоморфизм.

[provincialka]

Ваши группы, к которым применяется прямая сумма, конечны. Значит, элементы прямой суммы можно расположить в виде прямоугольника. В первом случае - размером $6\times36$, во втором - $12\times 18$. Размер этих прямоугольников одинаковы. Более того, можно пронумеровать элементы прямоугольников, например, по столбцам (удобнее начинать нумерацию с 0).
Вот и сопоставьте друг другу элементы (пары) с одинаковыми номерами. И проверьте свойства гомоморфизма.

[misha89]

задал гомоморфизм $\varphi((a+6*b)(\mod 6), b) = ((x+12y)(\mod 12), y).$ На самом деле у меня с этими образующими не в ту сторону шло решение, надо было изначально смотреть на $(x, y)$, а не на $(x, 0) & (0, y)$.

Эти группы будут изоморфны.

Но тогда появляются другие 2 группы: $Z/6Z \oplus Z/36Z \& Z/9Z\oplus Z/24Z.$

Они не должны быть изоморфны, потому что их структуры не совпадают, если разложить на прямые суммы примарных групп. У меня получилось $(Z/2Z \oplus Z/3Z) \oplus (Z/4Z \oplus Z/9Z) \& (Z/9Z)\oplus (Z/3Z \oplus Z/8Z)$ соответственно. Скобками показал какая группа во что превратилась.
Я специально рассматривал группы не как единое целое, а как изначально данную прямую сумму 2х групп.

Если бы я сказал $G = Z/6Z \oplus Z/36Z, \#G = 216 \Rightarrow G = Z/8Z \oplus Z/27Z$, то обе группы совпали бы, но мне кажется так нельзя делать.

Так вот, о чем я. Эти 2 группы (о которых речь) не изоморфны, но я переделал гомоморфизм $\varphi((a+6*b)(\mod 6), b) = ((x+9y)(\mod 9), y)$ и он оказался верным. Не было совпадений в образах, получается что инъективность выполняется. И сюръективность тоже, потому что были получены все элементы и для каждого есть прообраз.

Но ведь они должны быть не изоморфны...Или я ошибаюсь?

[arseniiv]

(Dē formulīs.)

В вашем случае использования $\bmod$ как бинарной операции пишите \bmod, там будут соответствующие пробелы, и не нужны скобки вокруг \bmod 6. Если же вы используете сравнение по модулю $u\equiv v\pmod 6$, в текущем исполнении это не ясно как понимать.

И дался вам этот амперсанд. В качестве разделителя обычная запятая много лучше.

[lena7]

misha89 в сообщении #865063 писал(а):

задал гомоморфизм $\varphi((a+6*b)(\mod 6), b) = ((x+12y)(\mod 12), y).$

Что это значит? Куда отправляются, например, элементы $(1,2)$, $(3,4)$ и $(4,6)$?

[misha89]

lena7 в сообщении #865217 писал(а):

misha89 в сообщении #865063 писал(а):

задал гомоморфизм $\varphi((a+6*b)(\mod 6), b) = ((x+12y)(\mod 12), y).$

Что это значит? Куда отправляются, например, элементы $(1,2)$, $(3,4)$ и $(4,6)$?

$ \varphi((1,2)) = \varphi((1 + 6*2)\bmod 6, 2) = \varphi(13\bmod 6, 2) = (13, 2) = (1+12*1, 1) = (1, 1)$

Аналогичным образом
$\varphi((3,4)) = (3, 2), \varphi((4,6)) = (4, 3).$

Вообще это же вычеты, поэтому я рассматриваю $\bmod$ как остаток от деления.

Это работает и получается, что группы $Z/6Z\oplus Z/36Z \cong Z/12Z\oplus Z/18 Z \cong Z/9Z\oplus Z/24 $, т.к. все эти группы можно представить в виде $Z/8Z\oplus Z/27Z. $

Верно? эти 3 группы изоморфны?

[provincialka]

В вашей записи суть несколько скрыта. Не лучше ли рассмотреть биекцию между $Z/kZ \oplus Z/mZ$ и $ Z/kmZ$. А из двух таких биекций соорудить искомую?

[misha89]

provincialka в сообщении #865244 писал(а):

В вашей записи суть несколько скрыта. Не лучше ли рассмотреть биекцию между $Z/kZ \oplus Z/mZ$ и $ Z/kmZ$. А из двух таких биекций соорудить искомую?

$Z/kZ \oplus Z/mZ$ и $ Z/kmZ$ будут изоморфны, если $GCD(k, m) = 1.$

Но зачем, если я знаю, что порядок всех 3х групп будет 216, а 216 можно разложить на взаимно-простые основания степеней и все хорошо получится?

Это если через свойства прямых сумм идти.
А если через гомоморфизм, то это мне вообще никак не поможет.

[AV_77]

misha89 в сообщении #865234 писал(а):

Это работает и получается, что группы $Z/6Z\oplus Z/36Z \cong Z/12Z\oplus Z/18 Z \cong Z/9Z\oplus Z/24 $, т.к. все эти группы можно представить в виде $Z/8Z\oplus Z/27Z. $

В таком виде их представить нельзя.

Гомоморфизм между $\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_{36}$ и $\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{18}$ проще всего строить опираясь на основную теорему об абелевых группах. Сначала в $\mathbb{Z}_{12}$ находим образующие подгрупп порядков 3 и 4, а в $\mathbb{Z}_{18}$ - образующие подгрупп порядков 9 и 2. Затем из образующих подгрупп порядков 2 и 3 конструируем образующую (и, следовательно, образ для образующей $\mathbb{Z}_6$) порядка 6, а из образующих подгрупп порядков 4 и 9 - конструируем образующую порядка 36.

[misha89]

AV_77, я вот чего не понимаю, почему вы группу $Z/12Z \oplus Z/18Z$ рассматриваете по кускам: сначала разбираете $Z/12Z$, потом $Z/18Z$, ведь $Z/12Z \oplus Z/18Z$ - это единая группа. И порядок у нее 216. Разве это не значит, что надо ее рассматривать как единое целое?

-- 20.05.2014, 11:16 --

AV_77, $Z/12Z \oplus Z/18Z$ ведь это тоже конечная абелева группа. и ее можно разложить по порядку 216 на примарные.

[arseniiv]

misha89 в сообщении #865448 писал(а):

почему вы группу $Z/12Z \oplus Z/18Z$ рассматриваете по кускам: сначала разбираете $Z/12Z$, потом $Z/18Z$, ведь $Z/12Z \oplus Z/18Z$ - это единая группа

$A\sim A'\Rightarrow A\oplus B\sim A'\oplus B$.

[misha89]

arseniiv, хорошо, значит их структуры совпадают, если разложить на прямые суммы примарных групп. У меня получилось $(Z/2Z \oplus Z/3Z) \oplus (Z/4Z \oplus Z/9Z), (Z/4Z \oplus Z/3Z) \oplus (Z/2Z \oplus Z/9Z)$ соответственно $(Z/6Z ) \oplus (Z/36Z ), (Z/12Z ) \oplus (Z/18Z )$. Скобками показал какая группа во что превратилась.

Этого достаточно, чтобы через данное свойство сказать, что группы изоморфны?