Математическая Универсиада-2014. Задача 1

[DjD USB]

Натупальное число $n$ имеет простые делители $a$ и $b$, при этом $a^2+b^2-1$ делится на $n$. Найти все такие $n$.

[Shadow]

$ab|a^2+b^2-1$

$a^2+b^2-1=(a+b)^2-2ab-1 \Rightarrow ab|(a+b)^2-1 \Rightarrow ab|(a+b-1)(a+b+1)$

Пусть $a<b, \quad a,b \in P$

Если $a>2,\quad \gcd(a+b-1,a+b+1)=1,a+b+1<b \Rightarrow a=2$

$b|(b+1)(b+3), \quad \gcd(b+1,b)=1 \Rightarrow b|b+3 \Rightarrow b=3$

$n=12,n=6$

[DjD USB]

(Оффтоп)

Значит я не ошибся

[Shadow]

Shadow в сообщении #864746 писал(а):

$a+b+1<b$

Ай, ай, ай
$b<a+b+1<2b$

[DjD USB]

Только при $a>2, a+b+1<2b+1$

[Shadow]

Много лишнего там, после разложения на множители достаточно написать $b|a+1$ Откуда сразу $a=2,b=3$

Ну да.
$a<b, b|a^2-1 \Rightarrow b|a+1 \Rightarrow a=2,b=3$

[Deggial]

Пост DjD USB отделён в Карантин по причине неоформления формул $\TeX$ом

[Deggial]

Пост DjD USB отделён в Карантин по причине неоформления формул $\TeX$ом

DjD USB
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда пост будет возвращён.

Пост возвращён.