Тождество смешанных производных

[kp9r4d]

Докажите, что если функция $f(x,y)$ имеет частные производные $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ в некоторой окрестности $U$ точки $(x_0,y_0)$ и если смешанная производная $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ (или $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$) существует в $U$ и непрерывна в $(x_0,y_0)$, то смешанная производная $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ (или $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$) также существует в этой точке и имеет место равенство

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x_0,y_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x_0,y_0)$$

В любом учебнике есть доказательство того, что если обе смешанные определены и непрерывны в точке, то они равны, но как доказать такое? Попыток решения особых нет, я пытался записать условие наличия второй смешанной производной явно (через существования повторного предела) и увидеть что-то, но не особо получилось. Буду благодарен за подсказку.

[Otta]

kp9r4d
Почему бы просто не посмотреть в учебнике?

[kp9r4d]

Otta в сообщении #864555 писал(а):

Почему бы просто не посмотреть в учебнике?

Просмотрел Кудрявцева и Зорича, подобной теоремы не нашёл.

[Otta]

Не может быть. Сейчас сама посмотрю.
Стоп. Или Вы имеете в виду именно модифицированный вариант?

[kp9r4d]

Именно модифицированный. Может там какое-то детское сведение к немодифицированному, конечно, но я в упор не вижу. >:

[мат-ламер]

kp9r4d в сообщении #864552 писал(а):

если смешанная производная $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ (или $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$) существует в $U$ и непрерывна в $(x_0,y_0)$,

Точно в точке? Или может быть в окрестности точки? Если в окрестности, то теорема Шварца в Камынине есть.

-- Сб май 17, 2014 23:30:58 --

Насчёт точки контрпример есть в Гелбауме и Олмстеде.

-- Сб май 17, 2014 23:33:53 --

$f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ и в нуле нулём доопределяем. Производные ищем в нуле.

[kp9r4d]

А точно у вашей функции смешанные в точке непрерывны?

[Otta]

По сути доказательства основной теоремы, вопрос можно свести к следующему: верно ли, что если для всех $(h_1,h_2)\to(0,0)$ и некоторых $\theta_1,\theta_2\in [0,1]$ выполнено

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0+\theta_1h_1,y_0+\theta_2h_2)\to \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)$$

то эта производная непрерывна в $(x_0,y_0)$.
Разумеется, что производная - непринципиально.

[kp9r4d]

мат-ламер
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y))$
Не непрерывна в нуле, она равна

$$g(x,y)=(8 x^2 y^2 (x^2 - y^2))/(x^2 + y^2)^3 - (2 x^2 (x^2 - y^2))/(x^2 + y^2)^2 - $$

$$(2 y^2 (x^2 - y^2))/(x^2 + y^2)^2 + (2 x^2)/(x^2 + y^2) - $$

$$(2 y^2)/(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)$$

И

$$\lim\limits_{x \to 0} g(x,0) = 1$$

$$\lim\limits_{x \to 0} g(0,x) = -1$$

И поэтому под условие теоремы контрпример не попадает.
Otta
Я немного не понял. Вы про версию, которая в учебниках?

[Otta]

Да.
То есть нет.
Я про Ваш вопрос и версию в учебниках.
Я допускаю, что версии разные, но суть обычно одна: дважды применяется теорема Лагранжа. В итоге получается некое равенство между смешанными производными, при переходе к пределу и наличии непрерывности каждой из них в точке получим требуемое. А при наличии непрерывности только одной получим (как необходимость) то, что я написала.

Все бы было совсем просто, если бы не одно "но": выбор каждого из $\theta_i$ зависит от текущего значения $h_i$.

[kp9r4d]

Otta в сообщении #864653 писал(а):

Все бы было совсем просто, если бы не одно "но": выбор каждого из $\theta_i$ зависит от текущего значения $h_i$.

То есть по сути вы спрашиваете верно ли, что если для любого пути $h(t)$ оканчивающегося в нуле верно, что

$$f(x_0+h_1(t),y_0+h_2(t)) \to f(x_0,y_0)$$

при $t \to 0$ то функция непрерывна? Очевидно ведь верно. Я что-то до сих пор не понимаю, что вы до меня донести хотите, видимо время суток сказывается. :3
Да, я знаю как теорема в классическом варианте доказывается, но тот же метод, почему-то, у меня применить не получается.

[Otta]

Я просто размышляю вслух.

kp9r4d в сообщении #864656 писал(а):

если для любого пути $h(t)$ оканчивающегося в нуле верно, что

$$f(x_0+h_1(t),y_0+h_2(t)) \to f(x_0,y_0)$$

Почему так? Вроде должно быть:
Для некоторых $\xi(h_1)$ и $\eta(h_2)$, стремящихся к нулю, выполнено

$$f(x_0+\xi(h_1),y_0+\eta(h_2)) \to f(x_0,y_0)$$

[kp9r4d]

Otta
Да я выразился неправильно. Я просто ни к селу ни к городу очевидную вещь говорил, что если то самое верно для любых $h_1,h_2$ то функция непрерывна (почти что определение по Гейне), думая, что вы утверждаете примерно то же самое. Неразбериха, в общем, получилась. :3
А так-то да, правы вы (вы же это написали подразумевая, что $f$ — данная в условии (существующая и непрерывная в нуле) смешанная производная?), хотя не понятно, что то даёт.

[Otta]

kp9r4d
До некоторого момента доказательство идет тем же путем, а потом нужно рассматривать смешанные производные в точке по определению и сводить теорему к теореме о перестановке пределов.

Набросок доказательства есть в Фихтенгольце, в еще более ослабленном варианте. Оказывается, непрерывность даже одной смешанной производной тоже необязательно требовать, достаточно требовать существования предела одной из смешанных производных в точке. Фихтенгольц авторство этого утверждения относит к Шварцу.

Посмотрите, там только схема, будет где разгуляться.

[kp9r4d]

Можете страницу сказать? Я нашёл только ту версию, которая и во всех учебниках на странице 260.