Площадь эллиптического параболоида

[Антоша]

День добрый!

Подскажите, как вычислить площадь поверхности части эллиптического параболоида, которая имеет высоту h.

[Someone]

Антоша писал(а):

День добрый!

Подскажите, как вычислить площадь поверхности части эллиптического параболоида, которая имеет высоту h.

С помощью поверхностного интеграла первого рода:

$$S(\Pi)=\iint\limits_{\Pi}dS$$

.

[Антоша]

Если эллиптический параболоид задан параметрически:

$$ x = a \sqrt{u} cos(v) $$ $$ y = b \sqrt{u} sin(v) $$ $$ z = u $$

где $ v \in [0, 2\pi]$, $ u \in [0, h]$ тогда

Площадь = $\int_0^{2\pi} dv \int_0^h \sqrt{EG - F^2} $

где

$$ EG = \left( \frac{a^4+b^4}{4} \right) \cdot cos^2(v) \cdot sin^2(v) + \frac{a^2 b^2}{4} \cdot \left[ cos^4(v) + sin^4(v)\right] + u \cdot \left[ a^2 \cdot sin^2(v) + b^2 \cdot cos^2(v) \right]$$

$$ F^2 = \left( \frac{a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4}{16} \right) \cdot cos^2(v) \cdot sin^2(v) $$

А как двойной интеграл вычислить? Нет под рукой учебника по численным методам.

[незваный гость]

Мне кажется, Вы что-то напутали в формулах. При малых $h$ площадь должна стремиться к $\pi a b h$, а у Вас получается что-то другое.

[Антоша]

Буду благодарен, если кто-нибудь проверит выражения для $EG$ и $F^2$.

Парметризацию параболоида брал отсюда. Но на соседней странице параметризация немного другая:

$$ x = a \sqrt{\frac u h} cos(v) $$ $$ y = b \sqrt{\frac{u}{h}} sin(v) $$ $$ z = u $$

Тогда, соответсвенно, и выражения будут другими.

[Genrih]

В $F^2$ действительно ошибка.Если не сворачивать произведение синуса и косинуса,то в знаменателе 4.

$E = \frac{a^2 cos^2v}{4u}+\frac{b^2 sin^2v}{4u}+1$
$G = a^2usin^2v+b^2ucos^2v$
$F = \frac{b^2-a^2}{2}sinv cosv$

На "соседней странице" дается параметризация параболоида, у нас же случай более общий, а именно еллиптический.