Общая формула Стокса

[Бабай]

Здравствуйте,

У меня вопрос так сказать методологического характера.
При чтении литературы по теории интеграла мне уже неоднократно встречалась такая ситуация.

Автор объясняет аппарат дифференциальных форм и как их интегрировать. Потом он формулирует Теорему Стокса либо для ориентированных компактных гладких многообразий с краем, причём с максимальной степенью гладкости (т.е. $C^\infty$-гладкости замен координат), для n-1-форм той же максимальной степени гладкости, либо спускается в своих требованиях до $C^2$-многообразий с краем и формулирует теорему для $C^{1}$-форм. Потом он заявляет, что есть теорема Гаусса-Грина для компактных многообразий с липшицевой границей, предварительно описав такую границу через карту, в которой она представляется как график липшицевой функции. Имея в своих руках общую теорему Стокса для форм, он несмотря на это не формулирует вариант с липшицевой границей на языке форм, а даёт формулировку Гаусса-Грина для компактных подмножеств коразмерности 0 в $\mathbb{R}^n$ с липшицевой границей через векторные поля класса $C^1$ и доказывает её в общем варианте с помощью методов теории меры и вовсе без дифференциальных форм!

Мне вот всё кажется, что это отнюдь не случайно.
В этой связи, а также в связи с известной дуальностью между формами и векторными полями, я задаюсь вопросом, а имеет ли вообще смысл формулировка и проведение доказательства такого ослабленного варианта Стокса, как уже упомянутый с липшицевой границей, на языке дифференциальных форм?

[mishafromusa]

Дело в том, что дифференциальные формы и их интегралы хорошо себя ведут именно при гладких заменах координат. Поэтому возникают трудности с определением интеграла от формы по липшицевской поверхности.

[Бабай]

Просто некоторые пытались меня убедить, что и при липшицевой границе теорема Гаусса-Грина для полей эквивалентна теореме Стокса для форм, при этом утверждая, что замена координат и степень её гладкости никак не зависят от степени гладкости многообразия или его края, тогда как я всегда думал, что ведь многообразие всегда можно представить локально как график некоторого отображения и соответсвенно степень гладкости графика прямо переносится на степень гладкости замен координат; об этом конечно редко задумываешся, когда всё имеет степень гладкости бесконечность. Поэтому, засовывая это описание через график в определяющую нашу форму функцию, по закону преобразования форм (умножение на определитель матрицы Якоби) при замене координат новая форма будет определятся каким-то образом через частные производные липшицевой функции (в нашем случае). Можно конечно воспользоватся тем фактом (из теории меры), что липшицева функция совпадает с некоторой $C^1$-функцией за исключением множества достаточно малой меры (включающее точки, где она не дифференцируема). Но это же ведь ничего не принесёт. Ну пусть даже замена кооринат имеет степень гладкости $C^1$. Форма, а именно $C^1$-форма при такой замене превратится в $C^0$-форму, и значит $C^1$-форма не определена инвариантным образом.

Поправьте меня пожалуйста, если что-то не так.

И что получается? Получается, что для многообразий (в $\mathbb{R}^n$) с липшицевой границей бесполезно переводить доказанную (методами теории меры при помощи теоремы Радемахера) теорему Гаусса-Грина для $C^1$-полей на язык форм и утверждать, что тем самым доказана общая формула Стокса для таких многообразий, так ведь? Это не будет иметь никакого смысла?

Я всегда думал, что Стокс для форм - это нечто большее чем теорема о дивергенции. А в этом плане, при ослаблении требований для границы, получается обратное, что многомерный Гаусс-Грин для полей - это нечто большее чем Стокс для форм. Не совсем ясная ситуация получается.

Прошу прокомментировать, если что-то не так. Спасибо.

[g______d]

По-моему, так и есть. Теорема Стокса обычно доказывается спрямлением границы и сведением (с помощью инвариантности интеграла) к такому же утверждению для куба, полупространства или чего-то подобного. Если мы попытаемся спрямить границу у липшицевой области, то, какой бы гладкой форма ни была, после спрямления она гарантированно останется только $L^{\infty}$. А у такой формы непонятно, что такое внешний дифференциал.

Бабай в сообщении #864718 писал(а):

И что получается? Получается, что для многообразий (в $\mathbb{R}^n$) с липшицевой границей бесполезно переводить доказанную (методами теории меры при помощи теоремы Радемахера) теорему Гаусса-Грина для $C^1$-полей на язык форм и утверждать, что тем самым доказана общая формула Стокса для таких многообразий, так ведь?

Да, в доказательстве теоремы Гаусса-Грина, насколько я понимаю, существенно используется, что это именно область с липшицевой границей, а не липшицево многообразие.

[Munin]

Бабай в сообщении #864718 писал(а):

при этом утверждая, что замена координат и степень её гладкости никак не зависят от степени гладкости многообразия или его края, тогда как я всегда думал, что ведь многообразие всегда можно представить локально как график некоторого отображения

Тут могут быть расхождения в смысле слова "многообразие". Многообразие в дифференциальной геометрии снабжено структурой (гладкая связность, риманова метрика и т. п.), которая не зависит от координат, и при заменах координат попросту преобразуется к новым. Многообразие в алгебраической геометрии ("график некоторого отображения") - наследует такую структуру от тех объектов, которыми определено: поле, пространство, уравнения. Поэтому, замены координат, видимо, могут на нём отражаться.

[g______d]

Munin в сообщении #864730 писал(а):

Тут могут быть расхождения в смысле слова "многообразие".

Не могут. Ни о каких алгебраических многообразиях здесь речь не идет, это вопрос из чистого анализа и сформулирован достаточно конкретно.

[Munin]

g______d в сообщении #864735 писал(а):

Ни о каких алгебраических многообразиях здесь речь не идет

Здесь - вроде да. Но вот словосочетание "многообразие всегда можно представить локально как график некоторого отображения" заставило меня насторожиться.

[mishafromusa]

Бабай в сообщении #864718 писал(а):

Не совсем ясная ситуация получается.

По-моему именно так. Нужно понять что такое поток векторного поля через липшицеву поверхность, а чтобы истоловать этот поток как интеграл от некоторой формы по этой поверхности, надо ещё и разобраться в том, как этот интеграл вычисляется. И то и другое совсем не тривиально.

[g______d]

Munin в сообщении #864741 писал(а):

многообразие всегда можно представить локально как график некоторого отображения

Когда говорилось о графиках, имелись в виду гладкие или липшицевы подмногообразия в $\mathbb R^n$.

[mishafromusa]

Нашёл статью, в которой всё сделано: https://eudml.org/doc/62141

[Бабай]

Да, спасибо, эту статью я уже тоже видел. Но там авторы кажется ещё не разобрались, как толком интегрировать введённые ими вещи.

Хм...Значит всё это действительно не так уж просто! Я тоже решил погуглить ещё разок, и вот что нашёл.

Вот здесь автор вплотную подобрался к тому же, используя результаты из упомянутой статьи, тоже пообещав вернуться к дальнейшему обобщению позже:
http://arxiv.org/pdf/0805.4144v1.pdf

А вот ещё один чувак написал карманные справочники (прочитав их, думаю АнализЫ можно сдавать на отлично с плюсом!), в которых...так мимоходом… упомянул Стокса для общих липшицевых многообразий…причём умудрился сделать это для $C^1$-форм!
Вот здесь:
http://elibrary.bsu.az/azad/s1_kitab/749.PDF на стр. 379 и
http://www.math.byu.edu/~klkuttle/sobolevspacesb.pdf на стр. 723-731.

Мда, очень интересно.

[mishafromusa]

Похоже, что товарищ Kuttler во многом разобрался. Хотя вопрос о минимальных условиях гладкости на границу при данной гладкости формы (или наоборот), при которой все эти интегралы осмысленны, может быть довольно тонким, да и не очень понятно кому в этом нужно разбираться, наверное тем, кто хочет решать краевые задачи в негладих обастях или с негладкими коэффициентами. Вообщем-то понятно, как можно действовать. Можно сгладить форму, можно сгладить область, можно выкинуть плохие точки из границы, итд. Если Вам хочется копнуть поглубже -- полный вперёд!

[Бабай]

Спасибо за сделанные замечания. Я вот решил всё-таки пока посмотреть сперва на то, что другие уже сделали и не уходить в самую глубь.

Хоть эта тема уже и успела подсохнуть, но я хотел бы обратить внимание на ссылку
http://elibrary.bsu.az/azad/s1_kitab/749.PDF на стр. 378-379, где товарищ Каттлер использует аппроксимативную единицу, чтобы применить Стокса к гладким функциям, а потом перейти к пределу. Особо он не расписывает то, что делает. Я не совсем понимаю например, как у него возможен сам предельный переход. Да, он упоминает о дифференцировании свёртки и применении теоремы Лебега. Однако, гладкого Стокса можно же расписать так, чтобы свести всё к многократным интегралам, и при этом в случае, когда (прошу прощение за слишком уж неформальное описание) в данной карте в качестве области интегрирования вместо "куба с крышкой вверху" взять "ящик ограниченный (вместо крышки) сверху графиком определённой (сперва гладкой) функции $f(x)$", можно всё расписать так, что один интеграл (после применения Фубини) будет содержать в качестве верхнего предела как раз функцию $f(x)$. Если $f$ гладкая, то всё прекрасно. Но если она только липшицева и мы решаемся на аппроксимацию, то что это за интеграл получается? Разве будет данная аппроксимация давать ИСЧЕРПАНИЕ исходной области интегрирования, чтобы можно было потом говорить о сходимости несобственного (многократного) интеграла?

Буду рад, если у кого-то будет время взглянуть на источник в ссылке и выразить по этому поводу свои мысли.

[mishafromusa]

Если посмотреть на всё это с точки зрения потоков де-Рама, то получается, что очень гладкую форму можно проинтегрировать по очень корявому множеству, а очень корявую форму -- по гладкому множеству, и т.д.